ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 830: неравенства

План решения.

Для доказательства двойного неравенства P/2<m_a+m_b+m_c<P нам потребуется оценить каждую медиану треугольника через его стороны. Обозначим стороны треугольника как a,b,c, а соответствующие им медианы как m_a,m_b,m_c. Периметр треугольника равен P=a+b+c. Мы будем использовать два ключевых факта о медианах: 1) Медиана меньше полусуммы двух сторон, прилежащих к ней. 2) Сумма трёх медиан больше половины периметра (это следует из свойств центроида или суммирования неравенств для частей медиан). Сначала выведем верхнюю границу для суммы медиан, затем нижнюю.

Вычисление и доказательство.

Доказательство верхней границы: m_a+m_b+m_c<P.

Рассмотрим медиану m_a, проведённую к стороне a. Продлим медиану m_a за точку пересечения с стороной a на расстояние, равное самой медиане, до точки D. Тогда четырёхугольник ABDC является параллелограммом (диагонали делятся пополам). В треугольнике ACD сторона CD равна стороне AB, то есть c, а сторона AD равна 2m_a. По неравенству треугольника для △ACD: AD<AC+CD⇒2m_a<b+c. Отсюда получаем важное неравенство для одной медианы: m_a<b+c/2. Аналогично для других медиан: m_b<a+c/2, m_c<a+b/2. Сложим эти три неравенства: m_a+m_b+m_c<b+c/2+a+c/2+a+b/2=2(a+b+c)/2=a+b+c=P. Таким образом, правая часть двойного неравенства доказана: m_a+m_b+m_c<P.

Доказательство нижней границы: P/2<m_a+m_b+m_c.

Для этого воспользуемся свойством центроида (точки пересечения медиан). Пусть O — центроид треугольника ABC. Известно, что центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть AO=2/3m_a, BO=2/3m_b, CO=2/3m_c. Рассмотрим треугольники AOB, BOC и AOC. Для любого внутреннего точки O треугольника справедливо неравенство: сумма расстояний от этой точки до вершин больше половины периметра треугольника. Докажем это частный случай для нашего случая. В △AOB по неравенству треугольника: AO+BO>AB=c. В △BOC: BO+CO>BC=a. В △AOC: AO+CO>AC=b. Сложим эти три неравенства: 2(AO+BO+CO)>a+b+c=P. Подставим выражения через медианы: 2(2/3m_a+2/3m_b+2/3m_c)>P, 4/3(m_a+m_b+m_c)>P, m_a+m_b+m_c>3/4P. Это неравенство сильнее требуемого (3/4P>1/2P), но давайте проверим более простой путь, часто используемый в школьном курсе, опираясь на указание задачи. Альтернативный подход для нижней границы (более элементарный): Используем неравенство m_a>b+c-a/2? Нет, это неверно в общем виде для всех случаев напрямую без дополнительных построений. Вернемся к классическому доказательству через сумму неравенств для половин медиан или использование того факта, что m_a+m_b>3/2c и т.д., но это сложно. Давайте используем стандартное неравенство: m_a+m_b+m_c>3/4P. Так как 3/4P>1/2P (при P>0), то тем более верно, что m_a+m_b+m_c>1/2P. Однако, чтобы строго следовать духу задачи «докажите», покажем прямое следствие из неравенств треугольников для медиан. Известно также неравенство: m_a+m_b>3/2c не всегда просто вывести. Проще всего доказать левую часть так: Рассмотрим △ABC. Выразим сторону a через медианы? Нет. Вернемся к неравенству 2m_a<b+c. Это дало верхнюю границу. Для нижней границы рассмотрим неравенство треугольника для △ABM_a (где M_a середина BC): m_a+BM_a>AB⇒m_a+a/2>c. Аналогично m_a+CM_a>AC⇒m_a+a/2>b. Сложив их: 2m_a+a>b+c⇒2m_a>b+c-a. Это дает оценку снизу для одной медианы. Суммируем такие оценки для всех медиан: 2m_a>b+c-a 2m_b>a+c-b 2m_c>a+b-c Сложим все три неравенства: 2(m_a+m_b+m_c)>(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+c=P. Отсюда: m_a+m_b+m_c>P/2.

Проверка.

Мы получили две части неравенства: 1) Из сложения неравенств m_i<сумма прилежащих сторон/2 следует m_a+m_b+m_c<P. 2) Из сложения неравенств 2m_i>сумма прилежащих сторон -противолежащая сторона следует m_a+m_b+m_c>P/2. Объединяя результаты, имеем: P/2<m_a+m_b+m_c<P. Условие выполнено для любого невырожденного треугольника. Если треугольник вырожденный (стороны лежат на одной прямой), неравенства могут обращаться в равенства или нарушаться, но в геометрии 7-9 классов рассматриваются только невырожденные треугольники.