ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 828

План доказательства.

Доказательство строится на переборе всех возможных типов четырёхугольников: выпуклый и невыпуклый (вогнутый). Для каждого случая мы покажем, что диагональ или сторона, соединяющая две вершины, разделяет оставшиеся две вершины в разные полуплоскости относительно этой прямой. В выпуклом случае опираемся на свойства диагоналей, а в невыпуклом — на взаимное расположение точек на прямых.

Вычисление и рассуждения.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD.

Случай 1: Четырёхугольник выпуклый.

В выпуклом четырёхугольнике диагонали AC и BD пересекаются внутри него. Рассмотрим прямую, проходящую через вершины A и C. Так как четырёхугольник выпуклый, вершины B и D лежат по разные стороны от диагонали AC. Это следует из того, что отрезок BD пересекает отрезок AC, значит, концы отрезка BD находятся в разных полуплоскостях, образованных прямой AC. Таким образом, для пары противоположных вершин B и D прямая AC является разделяющей.

Аналогично, если рассмотреть прямую BD, то вершины A и C лежат по разные стороны от неё. Следовательно, в любом выпуклом четырёхугольнике утверждение верно.

Случай 2: Четырёхугольник невыпуклый.

Пусть четырёхугольник ABCD невыпуклый. Без ограничения общности предположим, что вершина D лежит внутри треугольника ABC (или одна из сторон «вдавлена»). В таком четырёхугольнике одна из диагоналей лежит вне фигуры, а другая — внутри. Однако более простой подход использует указание к задаче: рассмотрим прямые, содержащие стороны.

Если четырёхугольник невыпуклый, то одна из его вершин лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Пусть, например, точка D лежит внутри △ABC. Тогда прямая AB не пересекает сторону CD внутри отрезка, но рассмотрим другую конфигурацию, описанную в подсказке: пусть прямая AB пересекает сторону CD в точке M. Это возможно, если четырёхугольник имеет форму «бумеранга» или самопересекающегося (хотя обычно под четырёхугольником понимают простую замкнутую ломаную).

Для стандартного невыпуклого четырёхугольника (где один угол больше 180^circ) возьмём прямую, проходящую через две соседние вершины, например, A и B. Если четырёхугольник ABCD таков, что C и D лежат по одну сторону от AB, то это противоречит определению выпуклости? Нет. Давайте воспользуемся свойством диагоналей. В невыпуклом четырёхугольнике одна диагональ лежит целиком внутри, а вторая частично снаружи. Но нам нужно найти две противоположные вершины.

Вернёмся к строгому геометрическому факту: в любом простом четырёхугольнике (не самопересекающемся) диагонали либо обе лежат внутри (выпуклый), либо одна внутри, а другая вне (невыпуклый).

Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник ABCD, где угол при вершине D внутренний рефлексный (>180^circ). Тогда вершина D лежит внутри треугольника ABC. Прямая AC проходит через две противоположные вершины A и C. Где находятся остальные вершины B и D? Вершина B лежит по одну сторону от прямой AC. Поскольку D находится внутри △ABC, она также лежит по ту же сторону от прямой AC, что и B. Значит, прямая AC не разделяет B и D.

Попробуем другую пару противоположных вершин: B и D. Проведём прямую BD. Она является диагональю. В невыпуклом четырёхугольнике с рефлексным углом при D, диагональ BD лежит внутри угла ADC? Нет, диагональ BD выходит за пределы многоугольника? В невыпуклом четырёхугольнике ABCD (с «вдавленной» вершиной D) диагональ AC лежит внутри, а диагональ BD лежит вне (частично).

Давайте используем метод координат или векторов для строгости. Или проще: разобьём четырёхугольник на два треугольника диагональю.

Рассмотрим прямую, проходящую через вершины A и B. Если C и D лежат по разные стороны от AB, то всё доказано. Если они лежат по одну сторону, то посмотрим на прямую BC. Если A и D по разные стороны — доказано. И так далее.

Более надежный путь, следующий из указания:

Если ABCD выпуклый, то диагональ AC разделяет B и D. Доказано выше.

Если ABCD невыпуклый, то одна из вершин лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Пусть D внутри △ABC. Рассмотрим прямую AB. Точки C и D лежат по одну сторону от AB (так как D внутри △ABC). Значит, пара (C,D) не подходит для прямой AB.

Рассмотрим прямую AC. Точки B и D лежат по одну сторону от AC (так как D внутри △ABC). Значит, пара (B,D) не подходит для прямой AC.

Рассмотрим прямую BC. Точки A и D лежат по одну сторону от BC. Значит, пара (A,D) не подходит для прямой BC.

Однако нам нужно выбрать любые две вершины для построения прямой. Мы можем выбрать не только стороны, но и диагонали.

В невыпуклом четырёхугольнике ABCD (D внутри △ABC):

1. Прямая AD: Проходит через соседние вершины. Разделяет ли она B и C? Да, так как луч AD лежит внутри угла BAC, он пересекает отрезок BC. Следовательно, B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Но B и C — это соседние вершины, а нам нужны противоположные .
2. Нам нужно доказать существование такой прямой, проходящей через две вершины (пусть это будут X и Y), что оставшиеся две вершины Z и W (противоположные друг другу) лежат по разные стороны от XY.

В условии сказано: «...лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины». Не обязательно, чтобы эти «две другие вершины» были соседними или противоположными. Просто любые две.

Итак, в невыпуклом случае (D внутри △ABC):

• Возьмём прямую, проходящую через вершины A и D. Как установлено выше, она пересекает сторону BC. Значит, вершины B и C лежат по разные стороны от прямой AD. Вершины B и C являются противоположными? Нет, в четырёхугольнике ABCD вершины B и D противоположны, A и C противоположны. B и C — соседние.
• Значит, этот выбор не подходит, так как нам нужны противоположные вершины B и D (относительно чего?) или A и C.

Перечитаем условие внимательно: «докажите, что ... существуют две противоположные вершины, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины».

То есть, мы ищем пару противоположных вершин (например, A и C), и проверяем, есть ли такая прямая через две другие (B и D), которая их разделяет. Или наоборот: ищем пару (B и D), и проверяем прямую через (A и C).

Проверим пару противоположных вершин A и C:

• Прямая проходит через B и D. Это диагональ BD.
• В невыпуклом четырёхугольнике с вершиной D внутри △ABC, диагональ BD лежит внутри угла ABC? Нет. Диагональ BD соединяет вершину B с «вдавленной» вершиной D. Она лежит внутри треугольника ABC. Пересекает ли она отрезок AC? Да, так как D внутри △ABC, то луч BD пересекает сторону AC в некоторой точке K. Значит, точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD.

Таким образом, для невыпуклого четырёхугольника ABCD (где D внутри △ABC):

1. Рассмотрим противоположные вершины A и C.
2. Рассмотрим прямую, проходящую через две другие вершины B и D.
3. Так как D лежит внутри △ABC, отрезок BD пересекает отрезок AC. Следовательно, концы отрезка AC (точки A и C) лежат по разные стороны от прямой BD.

Это завершает доказательство для невыпуклого случая.

Проверка.

1. Выпуклый случай: Диагональ AC разделяет B и D. Пара противоположных вершин B,D разделена прямой через A,C. Условие выполнено.

2. Невыпуклый случай: Пусть D внутри △ABC. Диагональ BD пересекает сторону AC. Пара противоположных вершин A,C разделена прямой через B,D. Условие выполнено.

3. Что если невыпуклость при другой вершине? Симметрия задачи позволяет без ограничения общности считать, что «вдавленная» вершина — это D. Логика сохраняется: диагональ, идущая к «вдавленной» вершине из противоположной ей вершины (в данном случае B к D), пересекает вторую диагональ (AC), разделяя её концы.