ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 823: Общие касательные двух окружностей

План доказательства:

Для того чтобы доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами треугольника A₁B₁C₁, достаточно показать, что каждая из этих прямых делит соответствующий угол треугольника A₁B₁C₁ пополам. Например, для прямой AA₁ нужно доказать равенство углов ∠B₁A₁A=∠C₁A₁A. Мы воспользуемся свойствами вписанных углов и тем фактом, что высоты перпендикулярны сторонам исходного треугольника.

Ход решения:

Рассмотрим прямую AA₁. Она содержит высоту AH треугольника ABC, где H — ортоцентр (точка пересечения высот). Значит, AA₁⊥BC.

Вспомним свойство вписанных углов: равные дуги стягиваются равными углами. Нам нужно сравнить дуги A₁B₁ и A₁C₁, на которые опираются углы ∠A₁CB₁ и ∠A₁BC₁? Нет, проще рассмотреть углы при вершине A₁: ∠B₁A₁A и ∠C₁A₁A. Эти углы опираются на дуги A₁B₁ и A₁C₁ соответственно (если смотреть с другой стороны) или связаны с другими дугами. Давайте перейдем к более надежному методу через параллельность или симметрию.

Известный факт: отражение ортоцентра H относительно стороны BC лежит на описанной окружности. Пусть H′ — точка, симметричная H относительно BC. Тогда H′ совпадает с точкой A₁? Не совсем. Точка пересечения высоты с окружностью (A₁) обладает следующим свойством: она является серединой дуги BC, не содержащей A, только если треугольник равнобедренный. В общем случае это неверно.

Давайте используем углы. Обозначим углы треугольника ABC как α,β,β. Так как AA₁⊥BC, то угол между хордой AB и высотой AA₁ равен 90^°-β (в прямоугольном треугольнике ABH_a, где H_a — основание высоты). То есть ∠BAA₁=90^°-β. Этот угол ∠BAA₁ является вписанным и опирается на дугу BA₁. Следовательно, величина дуги BA₁ равна 2(90^°-β)=180^°-2β.

Аналогично, угол ∠CAA₁ опирается на дугу CA₁. В прямоугольном треугольнике ACH_a угол ∠CAA₁=90^°-β? Нет, ∠CAA₁=90^°-β было бы, если бы мы смотрели на сторону AC и угол C. Правильнее: ∠CAA₁=90^°-β — ошибка. ∠CAA₁=90^°-β верно для угла при вершине A относительно стороны AC? Нет. ∠CAH=90^°-β верно, так как в △ACH угол при C равен β, а угол при H прямой? Нет, угол при H не прямой. Угол при C в △ABC равен β. Высота AH перпендикулярна BC. В △AHC угол ∠HAC=90^°-β. Да. Значит, дуга CA₁ равна 2(90^°-β)=180^°-2β.

Итак, мы получили, что дуга BA₁ равна дуге CA₁. Это означает, что точка A₁ является серединой дуги BC (не содержащей A)? Если дуги BA₁ и CA₁ равны, то хорды BA₁ и CA₁ равны. Но нам нужно доказать, что AA₁ — биссектриса угла ∠B₁A₁C₁.

Угол ∠B₁A₁A опирается на дугу A₁B₁? Нет, он опирается на дугу AB₁ (часть окружности от A до B₁, не содержащую A₁). Давайте аккуратно определим дуги. ∠B₁A₁A — вписанный угол, опирающийся на дугу AB₁ (ту, которая не содержит A₁). ∠C₁A₁A — вписанный угол, опирающийся на дугу AC₁ (ту, которая не содержит A₁).

Найдем величины дуг AB₁ и AC₁. Точка B₁ — конец высоты BB₁. Аналогично предыдущему рассуждению, высота BB₁ перпендикулярна AC. Угол ∠ABB₁=90^°-β? Нет, в △ABH_b угол ∠ABH_b=90^°-β (где β=∠B? Нет, обозначения путают. Пусть ∠A=, ∠B=β, ∠C=β. В △ABH_b (где H_b на AC): ∠ABH_b=90^°-β. Этот угол опирается на дугу AH_b? Нет, на дугу AB₁? Нет, угол ∠ABH_b опирается на дугу AH_b... стоп. Вершина угла B. Стороны BA и BH_b (продолжение до B₁). Угол ∠ABB₁ опирается на дугу AB₁? Нет, на дугу AC₁? Нет. Угол ∠ABB₁ опирается на дугу AB₁? Нет, концы лучей BA и BB₁ пересекают окружность в A и B₁. Значит, угол ∠ABB₁ опирается на дугу AB₁ (не содержащую B). Величина этого угла: в прямоугольном треугольнике ABH_b (где H_b — основание высоты из B на AC), угол ∠ABH_b=90^°-β? Нет, ∠A+∠ABH_b=90^}. Значит ∠ABH_b=90^°-β. Следовательно, дуга AB₁=2(90^°-β)=180^°-2β.

Теперь найдем дугу AC₁. Угол ∠ACC₁ опирается на дугу AC₁. В прямоугольном треугольнике ACH_c (высота из C на AB), угол ∠ACC_c=90^°-β. Следовательно, дуга AC₁=2(90^°-β)=180^°-2β.

Мы получили, что дуга AB₁ равна дуге AC₁. Тогда вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны. Угол ∠B₁A₁A опирается на дугу AB₁. Угол ∠C₁A₁A опирается на дугу AC₁. Так как дуги AB₁ и AC₁ равны, то ∠B₁A₁A=∠C₁A₁A. Это означает, что прямая AA₁ делит угол ∠B₁A₁C₁ пополам, то есть является его биссектрисой.

Аналогично можно доказать для других вершин: 1. Для прямой BB₁: нужно сравнить углы ∠A₁B₁B и ∠C₁B₁B. Они опираются на дуги A₁B и C₁B. Дуга A₁B равна 180^°-2β (как показано выше для BA₁, но тут нужно быть внимательным с индексами. Ранее мы нашли дугу BA₁=180-2β. А дуга A₁B та же самая). Дуга C₁B: угол ∠BCC₁=90^°-β опирается на дугу BC₁. Значит дуга BC₁=180^°-2β. Так как дуги A₁B и C₁B равны, то углы при вершине B₁ равны. BB₁ — биссектриса.

2. Для прямой CC₁: аналогично, дуги A₁C и B₁C равны 180^°-2β (или соответствующие выражения через другие углы треугольника, но принцип тот же: высота отсекает угол, дополняющий угол основания до 90 градусов, удваиваем и получаем дугу).

Проверка:

Логика построена на равенстве вписанных углов, опирающихся на равные дуги. Равенство дуг следует из свойств высот в остроугольном треугольнике. Все шаги обоснованы теоремами планиметрии. Доказательство корректно.