ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 820: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, который является одновременно вписанным и описанным. Пусть O — центр окружности, в которую он вписан, а I — центр окружности, около которой он описан (центр вписанной окружности). Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AB,BC,CD,DA как K,L,M,N соответственно. Нам нужно доказать, что отрезки KM и LN перпендикулярны.

Вычисление и геометрические свойства.

Так как четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам: IK⊥AB, IL⊥BC, IM⊥CD, IN⊥AD. Кроме того, длины касательных, проведённых из одной вершины к окружности, равны: AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN. Впишем теперь этот же четырёхугольник в другую окружность. Для любого вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180^°: ∠A+∠C=180^° и ∠B+∠D=180^°. Рассмотрим четырёхугольник KLMN, образованный точками касания. Его стороны являются хордами вписанной окружности (окружности с центром I). Углы этого четырёхугольника можно выразить через углы исходного ABCD. Например, треугольник AKN равнобедренный (AK=AN), поэтому ∠AKN=∠ANK=180^°-∠A/2=90^°-∠A/2. Аналогично для других вершин: ∠BKL=90^°-∠B/2, ∠CLM=90^°-∠C/2, ∠DMN=90^°-∠D/2. Теперь найдём угол ∠KNL в четырёхугольнике KLMN. Он равен 180^°-∠ANK-∠CNL? Нет, давайте посмотрим на диагонали KM и LN. Докажем, что они перпендикулярны, используя свойство ортодиагонального четырёхугольника или симметрию. Более простой путь: воспользуемся тем фактом, что если четырёхугольник одновременно вписанный и описанный (бисоцентрический), то его диагонали точек касания перпендикулярны. Это известное свойство, но докажем его. Рассмотрим векторный подход или угловой. Пусть угол между диагоналями KM и LN равен φ. В четырёхугольнике KLMN сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей только если... нет, это не так. Вернёмся к углам. Вычислим сумму противоположных углов четырёхугольника KLMN. ∠NKL=180^°-∠AKN-∠BKL=180^°-(90^°-A/2)-(90^°-B/2)=A+B/2. ∠NML=180^°-∠DMN-∠CMN? Нет, ∠NML=180^°-∠DMN-∠LMN? Точка M лежит на CD. Треугольники DMN и CML равнобедренные. ∠DMN=90^°-D/2, ∠CML=90^°-C/2. Тогда ∠NML=180^°-(90^°-D/2)-(90^°-C/2)=C+D/2. Сумма противоположных углов KLMN: ∠NKL+∠NML=A+B+C+D/2=360^°/2=180^°. Значит, четырёхугольник KLMN также является вписанным! Если KLMN вписан в окружность с центром I, то его диагонали KM и LN пересекаются под углом, связанным с дугами. Но нам нужно доказать перпендикулярность. Используем другой факт: в бисоцентрическом четырёхугольнике центры двух окружностей и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой (теорема Фусса). Однако есть более прямое доказательство через перпендикулярность диагоналей контактного четырёхугольника. Рассмотрим проекции. Так как ABCD вписан, то AC·BD=AB·CD+BC·AD (теорема Птолемея). Для описанного четырёхугольника AB+CD=BC+AD. Давайте используем тригонометрическое выражение для угла между диагоналями KM и LN вписанного в окружность I четырёхугольника KLMN. Угол между хордами KM и LN равен полусумме соответствующих им дуг. Пусть дуги KL,LM,MN,NK равны 2α,2β,2γ,2δ. Тогда α+β+γ+δ=180^°. Угол пересечения KM и LN равен 1/2(дуга KL+дуга MN)=α+γ. Нам нужно доказать, что α+γ=90^°. Дуга KL соответствует центральному углу ∠KIL. В четырёхугольнике IKBL углы при K и L прямые, значит ∠KIL=180^°-∠B. Следовательно, дуга KL (в смысле меры центрального угла) равна 180^°-∠B. То есть 2α=180^°-∠B⇒α=90^°-B/2. Аналогично, дуга MN соответствует углу ∠MIN=180^°-∠D. Значит 2γ=180^°-∠D⇒γ=90^°-D/2. Тогда сумма α+γ=180^°-B+D/2. Так как ABCD вписанный, то ∠B+∠D=180^°. Подставляем: α+γ=180^°-180^°/2=180^°-90^°=90^°. Таким образом, угол между диагоналями KM и LN равен 90^°.

Проверка.

Мы использовали два ключевых условия задачи: 1) Четырёхугольник описан около окружности → радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, что позволило найти центральный угол ∠KIL как 180^°-∠B. 2) Четырёхугольник вписан в окружность → сумма противоположных углов ∠B+∠D=180^°. Расчёт показал, что угол между хордами KM и LN равен полусумме дуг KL и MN, которая в итоге оказалась равной 90^°. Логика последовательна и опирается на стандартные теоремы планиметрии. Доказательство завершено.