ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 819: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что ∠AOD + ∠BOC = ∠AOB + ∠COD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Вспомним свойство углов при центре окружности, образованных биссектрисами углов описанного четырёхугольника. Центр вписанной окружности O лежит на пересечении биссектрис всех внутренних углов четырёхугольника ABCD. Это означает, что лучи AO, BO, CO и DO являются биссектрисами углов △A, △B, △C и △D соответственно. Нам нужно выразить суммы углов △AOD+△BOC и △AOB+△COD через углы самого четырёхугольника и сравнить их.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим треугольник △AOD. Сумма его углов равна 180o: △AOD=180o-(△OAD+△ODA). Так как AO и DO — биссектрисы, то △OAD=1/2△A и △ODA=1/2△D. Подставим это в формулу: △AOD=180o-1/2(△A+△D). Аналогично для треугольника △BOC: △BOC=180o-1/2(△B+△C). Теперь найдём сумму этих двух углов: △AOD+△BOC=360o-1/2(△A+△B+△C+△D).
Теперь проделаем то же самое для другой пары углов. Для △AOB: △AOB=180o-1/2(△A+△B). Для △COD: △COD=180o-1/2(△C+△D). Их сумма: △AOB+△COD=360o-1/2(△A+△B+△C+△D).
Проверка и вывод.
Мы получили два выражения, которые абсолютно идентичны по структуре. Оба они равны 360o минус половина суммы всех углов четырёхугольника. Поскольку сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360o, то обе суммы равны 360o-1/2(360o)=180o. Следовательно, равенство △AOD+△BOC=△AOB+△COD верно. Что и требовалось доказать.
Доказано: обе суммы равны 180°.
Использовано свойство центра вписанной окружности (пересечение биссектрис) и теорема о сумме углов треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 819 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 819?
Краткий ответ: Доказано: обе суммы равны 180°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.