ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 813: Общие касательные двух окружностей

План решения:

Для доказательства равенства углов ∠MHC и ∠MBC воспользуемся свойством вписанных углов. Если мы сможем доказать, что точки M, H, B и C лежат на одной окружности (то есть четырёхугольник MHBC является вписанным), то равные углы будут опираться на одну и ту же дугу.

Ход доказательства:

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию он прямоугольный, значит, угол при вершине C прямой: ∠ACB=90^°. Поскольку точка M лежит на стороне AC, то угол ∠MCB также равен 90^°.

2. По условию из точки M проведён перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Это означает, что угол ∠MHB=90^°.

3. Теперь рассмотрим четырёхугольник MHBC. В нём сумма противоположных углов ∠MCB+∠MHB=90^°+90^°=180^°.

4. Согласно признаку вписанного четырёхугольника, если сумма противоположных углов равна 180^°, то вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность. Следовательно, точки M,H,B,C лежат на одной окружности.

5. Углы ∠MHC и ∠MBC являются вписанными углами этой окружности. Они опираются на одну и ту же дугу MC.

6. По теореме о вписанных углах, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Значит, ∠MHC=∠MBC.

Проверка:

Логика построения верна: наличие двух прямых углов, опирающихся на один отрезок (MB) с одной стороны или являющихся противоположными в четырёхугольнике, гарантирует цикличность точек. Равенство углов следует непосредственно из свойств вписанной окружности.