ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 812: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать, что около четырёхугольника можно описать окружность, необходимо показать, что сумма его противоположных углов равна 180^°. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы её углов пересекаются, образуя внутренний четырёхугольник. Нам нужно найти величины углов этого нового четырёхугольника через углы исходной трапеции.

Вычисление углов.

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами углов при одном из оснований трапеции (например, углов A и B, если AB — боковая сторона, но в трапеции соседние углы при боковой стороне в сумме дают 180^°). Давайте будем аккуратнее: пусть биссектрисы углов A и D (при основании AD) пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и C (при основании BC) пересекаются в точке Q. Углы при вершинах P и Q являются углами нашего искомого четырёхугольника.

В △APD: угол PAD=1/2∠A, угол PDA=1/2∠D. Так как AD∥BC, то ∠A+∠B=180^° и ∠C+∠D=180^°. Однако для треугольника APD нам важна сумма ∠A+∠D. Это не фиксированное число. Посмотрим на другой подход.

Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. В △ABM: ∠MAB=1/2∠A, ∠MBA=1/2∠B. Сумма углов треугольника равна 180^°, поэтому ∠AMB=180^°-1/2(∠A+∠B). Поскольку AD∥BC, то ∠A+∠B=180^° (углы при боковой стороне трапеции). Следовательно, ∠AMB=180^°-1/2·180^°=90^°.

Аналогично рассмотрим пересечение биссектрис углов C и D в точке N. В △CDN: ∠NCD=1/2∠C, ∠NDC=1/2∠D. Так как ∠C+∠D=180^°, то ∠CND=180^°-1/2(∠C+∠D)=180^°-90^°=90^°.

Теперь рассмотрим пересечение биссектрис углов A и D в точке K и углов B и C в точке L. Четырёхугольник, образованный точками M,K,N,L (или их аналогами в зависимости от порядка обхода), имеет два прямых угла (∠M=90^° и ∠N=90^°).

Однако более стандартная конфигурация: пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в E, углов B и C в F, углов C и D в G, углов D и A в H. Тогда четырёхугольник EFGH является искомым.

Мы уже нашли, что ∠AEB=90^° (вертикальный ему угол в четырёхугольнике или сам угол E зависит от ориентации, но важно, что диагональные углы или смежные имеют свойства). Давайте проверим сумму противоположных углов четырёхугольника EFGH.

Угол ∠HEF вертикален углу ∠AEB? Нет, точки лежат иначе. Рассмотрим угол ∠E четырёхугольника EFGH. Он образован пересечением биссектрис AE и BE. Мы доказали, что ∠AEB=90^°. Значит, один из углов четырёхугольника равен 90^° (если считать внутренним углом при вершине E). Аналогично, угол при вершине G (пересечение биссектрис CG и DG) равен 90^°, так как ∠CGD=180^°-1/2(∠C+∠D)=90^°.

Таким образом, в четырёхугольнике EFGH противоположные углы ∠E и ∠G оба равны 90^°. Их сумма равна 90^°+90^°=180^°.

Проверка и вывод.

Признак существования описанной окружности вокруг выпуклого четырёхугольника гласит: окружность можно описать тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180^°. Мы показали, что одна пара противоположных углов (∠E и ∠G) в сумме даёт 180^°. Из того, что сумма всех углов четырёхугольника равна 360^°, следует, что и вторая пара противоположных углов (∠F и ∠H) также в сумме даёт 360^°-180^°=180^°.

Следовательно, условие выполнено, и около данного четырёхугольника можно описать окружность.