ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 815: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и около него можно описать окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать, что параллелограмм является квадратом, нам нужно показать два факта: во-первых, что все его стороны равны (то есть это ромб), и во-вторых, что все его углы прямые (то есть это прямоугольник). Мы воспользуемся свойствами вписанной и описанной окружностей по отдельности, а затем объединим результаты.
Шаг 1. Использование свойства вписанной окружности.
Известно, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон этого четырёхугольника равны. Для нашего параллелограмма ABCD с сторонами a и b это условие записывается так:
a+c=b+dТак как ABCD — параллелограмм, то его противоположные стороны попарно равны: a=c и b=d. Подставим эти равенства в формулу выше:
a+a=b+bimplies2a=2bimpliesa=bЕсли у параллелограмма все стороны равны (a=b=c=d), то он является ромбом .
Шаг 2. Использование свойства описанной окружности.
Теперь учтём условие, что около параллелограмма можно описать окружность. Четырёхугольник, около которого можно описать окружность, называется вписанным. Важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°. То есть для углов β и β1 (противоположных) верно:
β+β1=180°С другой стороны, по свойству параллелограмма, его противоположные углы равны между собой:
β=β1Подставим второе равенство в первое:
β+β=180°implies2β=180°impliesβ=90°Если один угол параллелограмма прямой, то и все остальные его углы также прямые. Следовательно, данный параллелограмм является прямоугольником .
Шаг 3. Объединение результатов и проверка.
Мы доказали, что из существования вписанной окружности следует, что фигура — ромб (все стороны равны). Из существования описанной окружности следует, что фигура — прямоугольник (все углы прямые).
Четырёхугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, по определению называется квадратом . Таким образом, исходное утверждение доказано.
Доказательство
а) Вписанная окружность => суммы противоположных сторон равны => в параллелограмме это значит, что соседние стороны равны => это ромб.
б) Описанная окружность => сумма противоположных углов 180 градусов => в параллелограмме противоположные углы равны => каждый угол 90 градусов => это прямоугольник.
в) Ромб + Прямоугольник = Квадрат.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 815 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 815?
Краткий ответ: Доказательство: 1) Вписанная окружность => суммы противоположных сторон равны => в параллелограмме это значит, что соседние стороны равны => это ромб. 2) Описанная окружность => сумма противоположных углов 180 градусов => в параллелограмме противоположные углы равны => каждый угол 90 градусов => это прямоугольник. 3) Ромб + Прямоугольник = Квадрат.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.