ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 816: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Для начала вспомним свойства трапеции, в которую можно вписать окружность. Сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: a+b=c+d. Так как трапеция описана около окружности и при этом является равнобедренной (так как около неё можно описать окружность), то её боковые стороны равны: c=d. Отсюда следует, что 2c=a+b, или c=a+b/2.

Далее используем свойство трапеции, около которой можно описать окружность. Такая трапеция обязательно равнобедренная. В равнобедренной трапеции диагонали равны. Также известно, что если в трапецию вписана окружность, то высота этой трапеции равна диаметру вписанной окружности: h=2r.

Нам нужно найти радиус r. Для этого выразим высоту через основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и проекцией боковой стороны на большее основание. Пусть основания a и b (a>b). Проекция боковой стороны на основание равна a-b/2. По теореме Пифагора для боковой стороны c: c²=h²+(a-b/2)²

Вычисление.

Подставим выражение для боковой стороны c=a+b/2 и высоты h=2r в уравнение Пифагора:

(a+b/2)²=(2r)²+(a-b/2)²

Раскроем скобки:

(a+b)²/4=4r²+(a-b)²/4

Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

(a+b)²=16r²+(a-b)²

Перенесём слагаемое (a-b)² влево:

(a+b)²-(a-b)²=16r²

Используем формулу разности квадратов или раскроем скобки:

(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=16r²

4ab=16r²

Разделим обе части на 16:

r²=4ab/16=ab/4

Извлечём квадратный корень:

r=ab/4=ab/2

Проверка.

Рассмотрим частный случай — квадрат со стороной a=b. Тогда трапеция превращается в квадрат. Формула даёт r=a·a/2=a/2. Это верно, так как радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны. Ответ выглядит корректным.