ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 821: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки A_1, B_1, C_1, D_1 являются серединами дуг AB, BC, CD, DA. Докажите, что прямые A_1C_1 и B_1D_1 перпендикулярны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства перпендикулярности хорд A1C1 и B1D1, пересекающихся внутри окружности, воспользуемся свойством угла между двумя секущими. Этот угол равен полусумме дуг, которые он высекает на окружности вместе с вертикальным к нему углом. Нам нужно показать, что сумма этих двух дуг равна 180°. Для этого выразим величины дуг через стороны исходного вписанного четырёхугольника ABCD и используем тот факт, что сумма всех дуг окружности равна 360°.
Вычисление и доказательство.
Обозначим градусные меры дуг, стягиваемых сторонами четырёхугольника ABCD, следующим образом: пусть arc(AB)=2x, arc(BC)=2y, arc(CD)=2z, arc(DA)=2w. Так как точки A1,B1,C1,D1 являются серединами соответствующих дуг, то:
- arc(AA1)=arc(A1B)=x;
- arc(BB1)=arc(B1C)=y;
- arc(CC1)=arc(C1D)=z;
- arc(DD1)=arc(D1A)=w.
Сумма всех дуг окружности равна 360°, следовательно:
2x+2y+2z+2w=360°impliesx+y+z+w=180°.Рассмотрим угол между прямыми A1C1 и B1D1. Пусть они пересекаются в точке O. Согласно теореме об угле между пересекающимися хордами, величина угла β (например, β=∠A1OB1) равна полусумме дуг A1B1 и C1D1 (или других пар вертикальных углов). Однако удобнее рассмотреть сумму дуг, заключённых между концами хорд. Угол между хордами A1C1 и B1D1 равен:
α=arc(A1B1)+arc(C1D1)/2.Найдём величины этих дуг:
Дуга A1B1 состоит из дуги A1B и дуги BB1: arc(A1B1)=x+y. Дуга C1D1 состоит из дуги C1D и дуги DD1: arc(C1D1)=z+w.
Подставим эти значения в формулу для угла:
α=(x+y)+(z+w)/2=x+y+z+w/2.Так как мы ранее установили, что x+y+z+w=180°, то:
α=180°/2=90°.Следовательно, прямые A1C1 и B1D1 пересекаются под прямым углом.
Проверка.
Логика опирается на фундаментальные свойства вписанных углов и дуг. Если бы четырёхугольник был квадратом, то все дуги были бы равны (90° каждая), середины дуг делили бы их пополам (45°). Тогда x=y=z=w=45°. Сумма x+y+z+w=180°. Угол между диагоналями квадрата (которые здесь совпадают с направлениями линий соединяющих середины противоположных сторон дуг) действительно равен 90°. В общем случае произвольного вписанного четырёхугольника алгебраическая сумма полуразмеров дуг всегда даёт 180°, что гарантирует перпендикулярность. Доказательство корректно.
Доказано, что угол между хордами равен 90°.
Использована теорема об угле между пересекающимися хордами. Ключевой момент — выражение дуг через половины исходных дуг сторон четырехугольника и использование суммы всех дуг 360 градусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 821 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 821?
Краткий ответ: Доказано, что угол между хордами равен 90°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.