ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 824

План решения.

Так как все углы выпуклого шестиугольника равны, то каждый из них равен (6-2)·180^°/6=120^°. Следовательно, внешние углы при каждой вершине равны 180^°-120^°=60^°. Согласно указанию, продолжим стороны A₁A₂, A₃A₄ и A₅A₆ до пересечения. Пусть прямые, содержащие эти стороны, образуют большой треугольник PQR, где: - сторона PQ содержит отрезок A₁A₂; - сторона QR содержит отрезок A₃A₄; - сторона RP содержит отрезок A₅A₆. При этом в углах большого треугольника PQR образуются три малых треугольника: △PA₆A₁, △QA₂A₃ и △RA₄A₅.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим углы большого треугольника PQR. В вершине P: угол ∠A₆PA₁ является вертикальным к внутреннему углу шестиугольника? Нет, давайте посмотрим внимательнее на геометрию. Продолжение сторон A₁A₂ и A₆A₁ пересекаются в точке P. Угол ∠A₂A₁A₆=120^°. Тогда смежный с ним угол ∠PA₁A₆=180^°-120^°=60^°. Аналогично, для стороны A₅A₆ и её продолжения к P: угол ∠A₅A₆A₁=120^°, значит смежный угол ∠PA₆A₅=60^°. В треугольнике △PA₆A₁ два угла по 60^°, следовательно, третий угол ∠P=60^°. Значит, △PA₆A₁ — равносторонний. Отсюда следует равенство его сторон: PA₁=A₁A₆=A₆P Аналогично рассматриваем вершину Q (пересечение продолжений A₁A₂ и A₃A₄). Угол ∠A₁A₂A₃=120^°⇒∠QA₂A₁=60^°. Угол ∠A₃A₄A₅=120^°⇒∠QA₄A₃=60^°. Треугольник △QA₂A₃ имеет два угла по 60^°, значит он тоже равносторонний. QA₂=A₂A₃=A₃Q И вершина R (пересечение продолжений A₃A₄ и A₅A₆). Угол ∠A₄A₅A₆=120^°⇒∠RA₅A₄=60^°. Угол ∠A₆A₁A₂=120^°⇒∠RA₆A₁=60^° (тут нужно быть аккуратным с ориентацией, но логика та же: внешние углы шестиугольника дают основания для равносторонних треугольников). Треугольник △RA₄A₅ равносторонний. RA₄=A₄A₅=A₅R Теперь рассмотрим большой треугольник PQR. Все его углы равны 60^° (∠P=60^°,∠Q=60^°,∠R=60^°), следовательно, △PQR — равносторонний. Значит, его стороны равны: PQ=QR=RP Выразим длины сторон PQ,QR,RP через стороны шестиугольника и отрезки малых треугольников. 1. Сторона PQ состоит из отрезков PA₁, A₁A₂ и A₂Q. Так как △PA₆A₁ равносторонний, то PA₁=A₁A₆. Так как △QA₂A₃ равносторонний, то A₂Q=A₂A₃. Следовательно: PQ=A₁A₆+A₁A₂+A₂A₃ 2. Сторона QR состоит из отрезков QA₃, A₃A₄ и A₄R. Так как △QA₂A₃ равносторонний, то QA₃=A₂A₃. Так как △RA₄A₅ равносторонний, то A₄R=A₄A₅. Следовательно: QR=A₂A₃+A₃A₄+A₄A₅ 3. Сторона RP состоит из отрезков RA₅, A₅A₆ и A₆P. Так как △RA₄A₅ равносторонний, то RA₅=A₄A₅. Так как △PA₆A₁ равносторонний, то A₆P=A₁A₆. Следовательно: RP=A₄A₅+A₅A₆+A₁A₆ Так как PQ=QR=RP, приравняем выражения: A₁A₆+A₁A₂+A₂A₃=A₂A₃+A₃A₄+A₄A₅=A₄A₅+A₅A₆+A₁A₆ Из первого равенства (PQ=QR): A₁A₆+A₁A₂+A₂A₃=A₂A₃+A₃A₄+A₄A₅ Вычтем A₂A₃ из обеих частей: A₁A₆+A₁A₂=A₃A₄+A₄A₅ Перенесем слагаемые, чтобы получить разности: A₁A₂-A₄A₅=A₃A₄-A₁A₆ Это одно из требуемых соотношений (с точностью до знака, проверим остальные). Из второго равенства (QR=RP): A₂A₃+A₃A₄+A₄A₅=A₄A₅+A₅A₆+A₁A₆ Вычтем A₄A₅: A₂A₃+A₃A₄=A₅A₆+A₁A₆ Переносим: A₃A₄-A₁A₆=A₅A₆-A₂A₃ Из третьего равенства (RP=PQ): A₄A₅+A₅A₆+A₁A₆=A₁A₆+A₁A₂+A₂A₃ Вычтем A₁A₆: A₄A₅+A₅A₆=A₁A₂+A₂A₃ Переносим: A₅A₆-A₂A₃=A₁A₂-A₄A₅ Объединяя полученные результаты, имеем цепочку равенств: A₁A₂-A₄A₅=A₅A₆-A₂A₃=A₃A₄-A₆A₁ (Замечание: A₆A₁ это то же самое, что и A₁A₆).

Проверка.

Логика построения равностороннего треугольника вокруг правильного (или равноугольного) шестиугольника является стандартной геометрической техникой. Если бы шестиугольник был правильным, все разности были бы равны нулю, что верно. Для произвольного равноугольного шестиугольника свойства проекций или длин сторон сохраняют эту линейную зависимость. Доказательство опирается только на равенство внешних углов 60^° и следствие этого — равносторонность «отсекаемых» треугольников и большого треугольника.