ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 829: равнобедренный треугольник

План решения. Для нахождения отрезка MK проанализируем геометрические свойства треугольника ADE. Поскольку AD — биссектриса угла A, а прямая DE перпендикулярна AD, то в треугольнике ADE высота из вершины D является одновременно и медианой? Нет, здесь нужно рассмотреть треугольник ABE или использовать свойства проекций. Более простой путь: заметить, что AD — биссектриса, а DE⊥AD. Это означает, что треугольник ADE прямоугольный с прямым углом при D? Нет, условие говорит: «Прямая через D перпендикулярно AD пересекает... AC в точке E». Значит, угол ∠ADE=90^°. Рассмотрим треугольник ADE. В нём DK — высота, опущенная на гипотенузу AE (так как K — основание перпендикуляра из D на AC, а E лежит на AC). Также нам дано, что BM⊥AC. Нам нужно найти связь между MK и AE. Давайте используем координатный метод или векторный подход для строгости, либо чистую геометрию. 1. Пусть ∠BAC=2α. Так как ABC равнобедренный (AB=BC), то ∠BCA=2α. 2. AD — биссектриса, значит ∠DAC=α. 3. В прямоугольном треугольнике ADE (∠ADE=90^°): - ∠DAE=α. - Тогда ∠AED=90^°-α. - DK — высота к гипотенузе AE. Из свойств прямоугольного треугольника: AK=ADcosα, KE=DEsin(90-α)? Лучше выразить через стороны. - AD=AEcosα. - AK=ADcosα=AEcos²α. 4. Теперь найдем положение точки M. M — проекция B на AC. Так как ABC равнобедренный, то M — середина основания AC. Значит, AM=1/2AC. 5. Нам нужно найти MK=|AM-AK|. 6. Выразим AC через AE и углы. В треугольнике ADC: по теореме синусов: AC/sin∠ADC=AD/sin∠C Угол ∠C=2α. Угол ∠ADC=180^°-∠DAC-∠C=180^°-α-2α=180^°-3α. Значит, sin∠ADC=sin3α. Отсюда AC=AD·sin3α/sin2α. Мы знаем, что AD=AEcosα=acosα. Тогда AC=acosα·sin3α/sin2α. 7. Найдем AM: AM=1/2AC=acosαsin3α/2sin2α Используем формулу двойного угла sin2α=2sinαcosα: AM=acosαsin3α/2(2sinαcosα)=asin3α/4sinα 8. Найдем AK: Ранее мы получили AK=AEcos²α=acos²α. Или через тригонометрию: AK=ADcosα=(acosα)cosα=acos²α. 9. Ищем разность MK=AM-AK (предполагаем, что M дальше от A, чем K, проверим позже). MK=asin3α/4sinα-acos²α Распишем sin3α=3sinα-4sin³α. sin3α/4sinα=3sinα-4sin³α/4sinα=3/4-sin²α Тогда первое слагаемое: AM=a(3/4-sin²α) Второе слагаемое: AK=acos²α=a(1-sin²α)=a-asin²α Вычитаем: MK=(3a/4-asin²α)-(a-asin²α) MK=3a/4-asin²α-a+asin²α Слагаемые с sin²α сокращаются! MK=3a/4-a=-a/4 Модуль расстояния равен a/4. Знак минус указывает на то, что точка K находится дальше от A, чем точка M (или наоборот, в зависимости от ориентации, но длина всегда положительна). Проверим расположение: если α мало, cos²α≈1, AK≈a. AM≈3a/4. Тогда K правее M. MK=AK-AM=a/4.

Вычисление. Итак, мы вывели формулу для длины отрезка MK: MK=|asin3α/4sinα-acos²α| Подставив тригонометрические тождества: 1. sin3α=3sinα-4sin³α 2. cos²α=1-sin²α Получаем: AM=a(3/4-sin²α) AK=a(1-sin²α) Разность: AK-AM=a(1-sin²α)-a(3/4-sin²α)=a-asin²α-3a/4+asin²α=a-3a/4=a/4 Таким образом, длина отрезка MK не зависит от угла при основании треугольника и равна четвертой части отрезка AE.

Проверка. Рассмотрим предельный случай. Пусть треугольник ABC становится очень «острым», т.е. α→0. Тогда ∠A→0, ∠C→0. Треугольник вырождается. Но давайте возьмем конкретный угол. Пусть △ABC равносторонний. Тогда ∠A=60^°, α=30^°. AE=a. В равностороннем треугольнике биссектриса AD совпадает с высотой и медианой. D — середина BC. Угол ∠DAC=30^°. Треугольник ADE: ∠ADE=90^°, ∠DAE=30^°. Тогда AD=AEcos30^°=a3/2. AK=ADcos30^°=a3/2·3/2=3a/4. С другой стороны, M — середина AC. В равностороннем треугольнике со стороной b: AC=b. AD=b3/2. Из AD=a3/2 следует b=a. То есть сторона треугольника равна a. Тогда AM=a/2. MK=|AK-AM|=|3a/4-a/2|=|3a/4-2a/4|=a/4. Ответ совпадает с ключом.