ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 827
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, воспользуемся определением выпуклости. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Это означает, что каждая вершина находится «внутри» угла, образованного соседними сторонами в противоположной вершине. Мы покажем, что одна диагональ (например, AC) проходит внутри треугольника, образованного другой диагональю и сторонами, что гарантирует пересечение.
Ход решения.
Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Рассмотрим угол △BAD, образованный сторонами AB и AD. Так как четырёхугольник выпуклый, то вершина C лежит во внутренней области этого угла (иначе прямая BD разделила бы вершины A и C на разные стороны, или нарушилась бы выпуклость при рассмотрении других углов).
Проведём луч AC. Поскольку точка C лежит внутри угла △BAD, луч AC также проходит внутри этого угла. Теперь рассмотрим треугольник △ABD. Сторона BD является основанием этого треугольника, а вершина A — его вершиной. Луч AC, выходящий из вершины A внутрь угла △BAD, должен пересечь противоположную сторону этого угла, то есть отрезок BD. Обозначим точку пересечения луча AC с отрезком BD за точку O.
Таким образом, мы доказали, что диагональ AC пересекает диагональ BD в некоторой точке O. Аналогично можно рассмотреть угол △ABC: вершина D лежит внутри него, поэтому луч BD пересекает отрезок AC. Оба утверждения подтверждают один и тот же факт: точки пересечения совпадают, так как две прямые могут иметь не более одной общей точки.
Проверка и вывод.
Если бы диагонали не пересекались, то либо они были бы параллельны (что невозможно для диагоналей одного четырёхугольника), либо их продолжения пересекались бы вне отрезков. Но свойство выпуклости гарантирует, что все внутренние углы меньше 180o, и любая диагональ целиком лежит внутри фигуры, соединяя несмежные вершины. Следовательно, диагонали обязательно имеют общую внутреннюю точку.
Доказательство завершено: диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
В решении использовано геометрическое определение выпуклости через расположение вершин относительно углов. Ключевым шагом является утверждение о том, что луч, исходящий из вершины угла и проходящий через точку внутри угла, пересекает противоположную сторону треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 827 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 827?
Краткий ответ: Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности. Задачи к главе VI.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.