ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 825: векторы
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Положительные числа a1, a2, a3, a4, a5 и a6 удовлетворяют условиям a1-a4=a5-a2=a3-a6. Докажите существование выпуклого шестиугольника A1A2A3A4A5A6 с равными углами и сторонами A1A2=a1, A2A3=a2, A3A4=a3, A4A5=a4, A5A6=a5, A6A1=a6.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства существования выпуклого шестиугольника с равными углами (то есть с внутренними углами по 120°) и заданными сторонами необходимо проверить условия совместности. Вспомним свойство таких шестиугольников: если продолжить стороны через одну, они образуют равносторонний треугольник. Это означает, что суммы длин трёх последовательных сторон должны быть равны между собой. Нам нужно доказать равенства: a1+a2+a3=a4+a5+a6, а также циклические перестановки, вытекающие из геометрии. Однако более строгий подход через векторы или проекции показывает, что для замкнутого контура с углами 120° необходимо выполнение условий на разности противоположных сторон или сумм соседних. Согласно указанию, ключевым шагом является доказательство равенства сумм S1=a1+a2+a3, S2=a3+a4+a5 и S3=a5+a6+a1. Если эти суммы равны, то шестиугольник можно вписать в равносторонний треугольник со стороной S, отрезая углы меньшими равносторонними треугольниками.
Вычисление и доказательство равенств.
Дано условие: a1-a4=a5-a2=a3-a6. Обозначим эту общую разность за k. Тогда: a1=a4+k a5=a2+kimpliesa2=a5-k a3=a6+k Рассмотрим сумму первых трёх сторон: S1=a1+a2+a3=(a4+k)+(a5-k)+(a6+k)=a4+a5+a6+k Теперь рассмотрим сумму S2=a3+a4+a5. Подставим выражение для a3: S2=(a6+k)+a4+a5=a4+a5+a6+k И сумму S3=a5+a6+a1. Подставим выражение для a1: S3=a5+a6+(a4+k)=a4+a5+a6+k Таким образом, мы получили: S1=S2=S3=a4+a5+a6+k Обозначим это общее значение через L. Значит, a1+a2+a3=a3+a4+a5=a5+a6+a1=L.
Геометрическая интерпретация и построение.
Известно (см. задачу 824), что любой выпуклый шестиугольник с равными углами (120°) может быть получен из равностороннего треугольника путём отсечения трёх углов меньшими равносторонними треугольниками. Пусть сторона большого равностороннего треугольника равна L. На каждой стороне этого треугольника отложим отрезки, соответствующие сторонам шестиугольника. Проверим корректность построения. Сторона большого треугольника состоит из трёх частей: например, на одной стороне лежат проекции или сами отрезки a1,a2,a3? Нет, структура такая: вершины шестиугольника делят стороны большого треугольника. Длина стороны большого треугольника равна сумме длин трёх «промежуточных» отрезков, которые являются сторонами шестиугольника, лежащими на этой стороне, плюс основания отсечённых треугольников. Но проще использовать известный факт: для шестиугольника с углами 120° выполняется равенство a1+a2+a3=a4+a5+a6 только если он центрально-симметричен? Нет, общее условие замыкания при углах 120° как раз и сводится к тому, что векторная сумма равна нулю. Условие a1+a2+a3=a3+a4+a5 эквивалентно a1+a2=a4+a5. А условие a3+a4+a5=a5+a6+a1 эквивалентно a3+a4=a6+a1. И третье: a5+a6+a1=a1+a2+a3impliesa5+a6=a2+a3. Давайте проверим наши найденные равенства через исходное условие a1-a4=a5-a2=a3-a6=k. 1) a1+a2=(a4+k)+a2. Нужно сравнить с a4+a5. Так как a5=a2+k, то a4+a5=a4+a2+k. Равенство верно. 2) a3+a4=(a6+k)+a4. Нужно сравнить с a6+a1. Так как a1=a4+k, то a6+a1=a6+a4+k. Равенство верно. 3) a5+a6=(a2+k)+a6. Нужно сравнить с a2+a3. Так как a3=a6+k, то a2+a3=a2+a6+k. Равенство верно. Таким образом, выполнены все три необходимых условия для существования такого шестиугольника. Построим равносторонний треугольник со стороной L=a1+a2+a3. На его сторонах отметим точки так, чтобы отрезки между ними имели длины a1,a2,…,a6. Поскольку суммы пар смежных сторон равны соответствующим частям, отсечённые угловые треугольники будут равносторонними, а оставшаяся фигура — шестиугольником с углами 120° и заданными сторонами. Выпуклость гарантируется положительностью всех ai и возможностью размещения отрезков внутри больших сторон треугольника (так как ai<L).
Доказано, что a1+a2+a3=a3+a4+a5=a5+a6+a1. Это необходимое и достаточное условие для существования выпуклого шестиугольника с равными углами и данными сторонами.
В решении использована алгебраическая проверка условий замыкания многоугольника с фиксированными углами. Ключевой момент — преобразование данных о разностях сторон в равенства сумм, что позволяет применить геометрическую конструкцию с равносторонним треугольником.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 825 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 825?
Краткий ответ: Доказано, что a_1 + a_2 + a_3 = a_3 + a_4 + a_5 = a_5 + a_6 + a_1. Это необходимое и достаточное условие для существования выпуклого шестиугольника с равными углами и данными сторонами.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности. Задачи к главе VI.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.