ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 832: подобие треугольников

План решения.

Чтобы найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку A со всеми точками прямой l, воспользуемся свойствами подобия треугольников или теоремой о средней линии. Пусть M — произвольная точка на прямой l, а K — середина отрезка AM. Нам нужно определить, где находится точка K, когда M пробегает всю прямую l.

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим два положения точки M: пусть M₁ и M₂ — две различные точки на прямой l. Тогда K₁ и K₂ — середины отрезков AM₁ и AM₂ соответственно. В треугольнике AM₁M₂ отрезок K₁K₂ является средней линией, так как K₁ и K₂ делят стороны AM₁ и AM₂ пополам. По свойству средней линии треугольника, K₁K₂∥M₁M₂ и K₁K₂=1/2M₁M₂. Так как M₁ и M₂ лежат на прямой l, то отрезок M₁M₂ лежит на этой прямой. Следовательно, линия, проходящая через все точки K, параллельна прямой l.

Теперь найдем положение этой новой прямой относительно точки A. Опустим перпендикуляр из точки A на прямую l, пусть основание перпендикуляра — точка H. Пусть K_H — середина отрезка AH. Так как средняя линия проходит через середину высоты (в соответствующем прямоугольном треугольнике), то искомая прямая проходит через точку K_H и параллельна l. Расстояние от точки A до искомой прямой равно половине расстояния от A до l.

Проверка.

Если взять любую точку K на построенной прямой, параллельной l и находящейся на расстоянии 1/2d(A,l) от A, то можно ли восстановить точку M на l? Да, для этого нужно продолжить отрезок AK за точку K на ту же длину, получив точку M. По построению, если прямая K-мест параллельна l, то проекция вектора AK на нормаль к l составляет половину проекции вектора AM. Это подтверждает, что множество таких точек K действительно образует прямую, параллельную данной.