ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 834: равнобедренный треугольник

План доказательства:

• Рассмотрим прямоугольник ABCD и проведём биссектрисы всех его четырёх углов.
• Докажем, что фигура, образованная точками пересечения этих биссектрис, является прямоугольником (все углы равны 90^°).
• Докажем, что стороны этой фигуры равны между собой, используя свойства равнобедренных треугольников, которые образуются при пересечении биссектрис со сторонами прямоугольника.
• Сделаем вывод, что параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами — это квадрат.

Ход решения:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Проведём биссектрису угла A, которая пересекает сторону BC в точке K, и биссектрису угла B, которая пересекает сторону AD в точке L. Пусть эти две биссектрисы пересекаются в точке P. Аналогично обозначим точки пересечения других пар соседних биссектрис как Q,R,S. Нам нужно доказать, что четырёхугольник PQRS — квадрат.

1. Доказательство того, что углы при вершинах PQRS прямые.
Рассмотрим треугольник ABP. Так как AP — биссектриса угла DAB, а угол DAB=90^°, то ∠PAB=45^°. Аналогично, BP — биссектриса угла ABC, поэтому ∠PBA=45^°.
Сумма углов треугольника равна 180^°, значит:
∠APB=180^°-(∠PAB+∠PBA)=180^°-(45^°+45^°)=90^°
Так как вертикальные углы равны, то угол четырёхугольника PQRS при вершине P также равен 90^°. По той же логике для остальных трёх вершин (Q,R,S), получаем, что все углы четырёхугольника PQRS прямые. Следовательно, PQRS — прямоугольник.

2. Доказательство равенства смежных сторон.
Рассмотрим треугольник ABK. Угол B прямой, а AK — биссектриса угла A, значит ∠BAK=45^°. Тогда ∠AKB=180^°-90^°-45^°=45^°. Треугольник ABK — равнобедренный, так как углы при основании AK равны? Нет, углы при катетах: ∠BAK=∠BKA=45^°, следовательно, катеты равны: AB=BK.
Аналогично, рассмотрим треугольник ABL (где BL — биссектриса угла B, пересекающая AD). ∠ABL=45^°, ∠BAL=90^°, значит ∠ALB=45^°. Треугольник ABL равнобедренный, откуда AB=AL.

Теперь найдём длину отрезка PL. Точки P лежит на AK, а L на AD. Это усложняет прямой расчёт. Давайте проще.
Рассмотрим отрезки, отсекаемые биссектрисами на сторонах прямоугольника.
Биссектриса угла A отсекает на стороне BC отрезок BK=AB (так как △ABK равнобедренный).
Биссектриса угла D отсекает на стороне BC отрезок CM=CD. Так как ABCD прямоугольник, то AB=CD. Значит, BK=CM.
Отсюда следует, что отрезок KM (часть стороны BC между основаниями биссектрис) симметричен относительно середины стороны BC. Но нам нужны стороны внутреннего четырёхугольника.

Давайте вычислим стороны PQ и QR через координаты или геометрию.
Возьмём △ABP. Он равнобедренный (∠PAB=∠PBA=45^°), высота из P к AB делит AB пополам. Пусть AB=a,BC=b.
Расстояние от P до стороны AB равно a/2.
Расстояние от P до стороны AD? Координата x_P=a/2. Расстояние до AD (ось y) равно a/2? Нет, если A(0,b),B(a,b)... Лучше стандартно: A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b).
Биссектриса A: y=x.
Биссектриса B: проходит через (a,0) под углом 135^° к оси Ox (или -45^°). Уравнение: y-0=-1(x-a)⇒y=-x+a.
Пересечение P: x=-x+a⇒2x=a⇒x=a/2,y=a/2. Точка P(a/2,a/2).
Биссектриса C: проходит через (a,b), угол 225^° (внутренний угол 90, биссектриса делит пополам, наклон 1). Уравнение: y-b=1(x-a)⇒y=x-a+b.
Биссектриса D: проходит через (0,b), угол 315^° (наклон -1). Уравнение: y-b=-1(x-0)⇒y=-x+b.
Пересечение R (биссектрис C и D): x-a+b=-x+b⇒2x=a⇒x=a/2. y=-a/2+b. Точка R(a/2,b-a/2).
Пересечение Q (биссектрис B и C): y=-x+a и y=x-a+b.
-x+a=x-a+b⇒2x=2a-b⇒x=a-b/2.
y=-(a-b/2)+a=b/2. Точка Q(a-b/2,b/2).
Пересечение S (биссектрис A и D): y=x и y=-x+b.
x=-x+b⇒2x=b⇒x=b/2. y=b/2. Точка S(b/2,b/2).

Найдём вектор SP=P-S=(a/2-b/2,a/2-b/2).
Длина SP=(a-b/2)²+(a-b/2)²=|a-b|/22.
Найдём вектор PQ=Q-P=(a-b/2-a/2,b/2-a/2)=(a-b/2,b-a/2).
Длина PQ=(a-b/2)²+(-a-b/2)²=|a-b|/22.
Таким образом, SP=PQ.
Так как мы уже доказали, что углы прямые, то PQRS — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Если смежные стороны равны (SP=PQ), то все стороны равны.
Прямоугольник с равными сторонами называется квадратом.

Проверка:

Если a=b (квадрат), то биссектрисы совпадают с диагоналями, и они пересекаются в одной точке, «фигура» вырождается. Но в условии сказано «прямоугольник», обычно подразумевается не квадрат, либо задача тривиальна для квадрата (точка). Однако, если a≠b, то |a-b|>0, и квадрат существует. Логика верна: углы 90^° за счёт суммы острых углов 45+45, равенство сторон за счёт симметрии координатных выражений, зависящих только от разности сторон исходного прямоугольника.