ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 836: прямоугольный треугольник

План решения.

Для доказательства равенства AM=BK+DM воспользуемся методом вспомогательного построения. На луче AB отложим отрезок AN, равный AM. Проведём отрезок MN и опустим высоту NS из вершины N на сторону AM треугольника AMN. Наша цель — доказать равенство соответствующих отрезков через конгруэнтность (равенство) треугольников: сначала покажем, что △ANS≠△MAD, а затем, что △AKB≠△NMS. Из этих равенств выведем требуемое соотношение.

Ход доказательства.

1. Доказательство равенства △ANS и △MAD.
   Рассмотрим прямоугольные треугольники △ANS (угол S=90^o) и △MAD (угол D=90^o, так как ABCD — квадрат).
   По построению гипотенуза AN=AM. Однако для сравнения нам удобнее использовать другой подход или заметить, что в условии дано указание именно на эти треугольники. Проверим углы.
   Так как AK — биссектриса угла BAM, то угол BAK=угол KAM. Обозначим угол BAM=2β. Тогда угол MAK=β.
   В △ANS: это равнобедренный треугольник (AN=AM), но высота NS проведена к основанию AM? Нет, по условию указания NS — высота △AMN. Значит, NSbotAM. В △ANS угол при вершине A равен угол NAM. Но точка N лежит на луче AB, значит, угол NAM=угол BAM=2β. Это не совсем удобно напрямую. Давайте внимательно посмотрим на указание: «доказать, что △ANS≠△MAD».
   В △MAD: катет AD равен стороне квадрата a. Гипотенуза AM.
   В △ANS: гипотенуза AN=AM. Катет AS лежит на AM. Угол угол NAS совпадает с углом угол MAB? Нет, N на AB, S на AM. Значит, угол NAS=угол BAM=2β.
   Это противоречие в стандартном прочтении. Пересмотрим геометрию. Если AN=AM, то △AMN равнобедренный. Высота NS к основанию AM делит его пополам? Нет, высота к боковой стороне.
   Давайте используем более простой путь, часто применяемый в таких задачах, который согласуется с итогом.
   Продлим CB до точки E такой, что BE=DM. Тогда △ABE≠△ADM (по двум катетам: AB=AD, BE=DM). Отсюда AE=AM и угол EAB=угол MAD.
   Тогда угол EAM=угол EAB+угол BAM=угол MAD+угол BAM. Так как угол BAD=90^o, то угол MAD+угол BAM=90^o-угол DAM+угол BAM... стоп.
   угол BAD=угол BAM+угол MAD=90^o.
   Значит, угол EAM=угол EAB+угол BAM=угол MAD+угол BAM=90^o.
   Треугольник AEM — равнобедренный (AE=AM) и прямоугольный? Нет, угол EAM=90^o. Значит, он равнобедренный прямоугольный.
   Биссектриса AK угла BAM является также медианой и высотой в △AEM? Не обязательно, если K не середина.
   Вернёмся к методу из подсказки, исправив интерпретацию.
   На луче AB отложили AN=AM. Провели NSbotAM.
   Рассмотрим △ANS и △ABK? Нет, подсказка говорит △AKB≠△NMS.
   1) Докажем △ANS≠△MAD.
   В △MAD: угол D=90^o, гипотенуза AM.
   В △ANS: угол S=90^o, гипотенуза AN. Так как AN=AM, то гипотенузы равны.
   Нужно найти равные острые углы.
   Пусть угол BAM=θ. Тогда угол MAD=90^o-θ.
   В △ANS: угол при вершине A есть угол SAN. Точка S лежит на AM, точка N на AB. Значит, угол SAN=угол MAB=θ.
   Углы θ и 90^o-θ не равны в общем случае. Значит, △ANS и △MAD не равны , если только θ=45^o.
   Однако, возможно, в подсказке имеется в виду другая пара или другое построение. Давайте проверим вторую пару: △AKB≠△NMS.
   Если первая пара неверна, то вся схема может быть искажена в памяти источника или требует иного толкования.
   Попробуем альтернативное доказательство, которое строго следует логике задачи, используя свойства биссектрисы.
   
   Альтернативное строгое доказательство:
   1. Продлим отрезок CB за точку B и отложим на нём отрезок BE, равный DM. Соединим A с E.
   2. Рассмотрим △ABE и △ADM:
   • AB=AD (стороны квадрата);
   • BE=DM (по построению);
   • угол ABE=угол ADM=90^o (так как ABC — прямой угол квадрата, а смежный ему тоже 90^o).
   Следовательно, △ABE≠△ADM по первому признаку равенства треугольников.
   3. Из равенства треугольников следует: AE=AM и угол BAE=угол DAM.
   4. Вычислим угол угол EAM: угол EAM=угол EAB+угол BAM=угол DAM+угол BAM Так как угол DAM+угол BAM=угол DAB=90^o, то угол EAM=90^o.
   5. Таким образом, △AEM — равнобедренный (AE=AM) и прямоугольный.
   6. Теперь рассмотрим треугольник AEM и прямую AK. По условию AK — биссектриса угла BAM. Обозначим угол BAM=2β. Тогда угол BAK=угол KAM=β.
   7. Найдём угол угол EAK: угол EAK=угол EAB+угол BAK=угол DAM+β Мы знаем, что угол DAM=90^o-2β. Подставим: угол EAK=(90^o-2β)+β=90^o-β
   8. Найдём угол угол AKM в △AKM? Лучше рассмотреть △AEK и △AMK. У нас есть AE=AM. Сторона AK общая. Сравним углы угол EAK и угол MAK. угол MAK=β. угол EAK=90^o-β. Они не равны. Значит, этот путь не ведёт к простому равенству △AEK≠△AMK.
   
   Давайте вернёмся к исходному утверждению: AM=BK+DM. Из п.2 мы имеем AE=AM и BE=DM. Тогда утверждение эквивалентно AE=BK+BE. Так как точки E,B,K лежат на одной прямой (луч CB), причём B между E и K (так как K на BC, а E на продолжении CB за B), то EK=EB+BK=DM+BK. Следовательно, нужно доказать, что AE=EK.
   9. Докажем, что △AEK — равнобедренный с основанием AK? Нет, нужно AE=EK. Для этого достаточно доказать, что угол EKA=угол KEA.
   10. Найдём угол KEA (он же угол BEA): В △ABE (прямоугольный): угол BEA=90^o-угол BAE. Мы знаем угол BAE=угол DAM=90^o-2β. Тогда угол BEA=90^o-(90^o-2β)=2β.
   11. Найдём угол EKA (он же угол BKA): В △ABK (прямоугольный, угол B=90^o): угол BKA=90^o-угол BAK=90^o-β.
   12. Сравниваем углы: угол BEA=2β, угол BKA=90^o-β. Равны ли они? Только если 2β=90^o-β→3β=90^o→β=30^o. Это частный случай. Значит, общее утверждение AM=BK+DM неверно для произвольной точки M?
   
   Проверим граничный случай. Пусть M совпадает с D. Тогда DM=0. Биссектриса угла BAD (90^o) идёт под 45^o. Она пересекает BC в точке K, где BK=AB (так как △ABK равнобедренный). AM=AD=AB. Формула: AB=AB+0. Верно.
   Пусть M совпадает с C. Тогда DM=CD=a. AM=AC=aroot2braced. Биссектриса угла BAC (45^o) делит угол 45^o пополам, т.е. угол BAK=22.5^o. BK=atg(22.5^o)=a(root2braced-1). Формула: aroot2braced=a(root2braced-1)+a=aroot2braced-a+a=aroot2braced. Верно!
   Значит, формула верна. Где ошибка в выводе углов?
   Ошибка в шаге 10-11. Я искал равенство AE=EK. Если AE=EK, то △AEK равнобедренный, и углы при основании AK равны? Нет, если AE=EK, то углы при основании AK равны: угол EAK=угол EKA.
   Давайте проверим это условие. угол EKA=90^o-β. угол EAK=90^o-β (из шага 7).
   Да! В шаге 7 я получил угол EAK=90^o-β. В шаге 11 я получил угол EKA=90^o-β. Следовательно, угол EAK=угол EKA. Значит, △AEK — равнобедренный с AE=EK.
   Так как AE=AM (из равенства △ABE≠△ADM) и EK=EB+BK=DM+BK, то: AM=DM+BK Что и требовалось доказать.

   Проверка и вывод.

   Мы использовали метод достраивания (продление стороны CB), который является классическим для задач на сумму отрезков. Построение точки E позволило перенести отрезок DM в положение BE, суммируемое с BK. Доказательство равнобедренности △AEK через равенство углов угол EAK и угол EKA подтверждает правильность вывода. Результат совпадает с ключевым ответом учебника, хотя способ доказательства отличается от краткого указания (которое, вероятно, содержит неточность в обозначении равных треугольников или предполагает более сложную тригонометрическую/геометрическую трансформацию, не очевидную сразу).