ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 840: окружность

План решения.

Для построения равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD=a, BC=b и диагональю AC=d воспользуемся свойством параллельного переноса. Если через вершину C провести прямую, параллельную диагонали BD, то она пересечёт продолжение основания AD в точке E. Получится треугольник ACE, который является равнобедренным: его боковые стороны равны диагоналям трапеции (AC=CE=d), а основание AE равно сумме оснований трапеции (AE=AD+DE=a+b). Таким образом, задача сводится к построению этого вспомогательного треугольника по трём сторонам.

Пошаговое вычисление и построение.

1. На прямой отложим отрезок AE, равный сумме оснований трапеции: AE=a+b.
2. С центром в точке A радиусом d (диагональ) проведём дугу окружности.
3. С центром в точке E тем же радиусом d проведём вторую дугу. Точка их пересечения будет вершиной C нашего вспомогательного треугольника ACE.
4. Теперь нужно восстановить саму трапецию. Из точки C опустим перпендикуляр на прямую AE? Нет, проще использовать параллелизм. Через точку C проведём прямую, параллельную AE.
5. На этой параллели от точки C в сторону, противоположную смещению E относительно A (или просто так, чтобы получить выпуклую фигуру), отложим отрезок CB, равный меньшему основанию b. Направление выбираем таким образом, чтобы проекция B на AE лежала внутри отрезка AE ближе к A.
6. Соединим точку B с точкой A. Это будет боковая сторона AB.
7. Из точки B проведём прямую, параллельную диагонали CE (так как BC≠AE, это не совсем верно для стандартного метода). Давайте уточним шаг 5-6. Более надежный способ после нахождения C: из точки C проводим прямую параллельно AE. На ней откладываем отрезок CB=b так, чтобы вектор CB был сонаправлен с вектором EA? Нет, обычно строят так: находим середину AE? Нет. Давайте вернемся к классическому алгоритму: 1. Строим △ACE со сторонами a+b,d,d. 2. На стороне AE откладываем отрезок ED=b (где D лежит между A и E). Тогда AD=(a+b)-b=a. 3. Через точку D проводим прямую, параллельную CE. Она пересечёт сторону AC? Нет, она должна пересечь линию, проходящую через C параллельно AE. 4. Проще: Через C проводим прямую l∥AE. На ней откладываем CB=b так, чтобы B и E были по разные стороны от прямой AC? Нет. Исправленный четкий алгоритм: 1. Построить треугольник ACE со сторонами AC=d, CE=d, AE=a+b. 2. На основании AE отложить отрезок AD=a (точка D лежит на AE). 3. Через точку D провести прямую, параллельную CE. Пусть она пересекает прямую, проходящую через C параллельно AE, в точке B. Но тогда BCDE — параллелограмм, значит BC=DE=(a+b)-a=b. И BE∥CD. В этом случае ABCD — трапеция с основаниями AD=a и BC=b. Диагональ AC=d. Вторая диагональ BD? Так как BCDE параллелограмм, то BD и CE не связаны напрямую простыми равенствами длин без проверки равнобедренности. Проверка равнобедренности: В построенном треугольнике ACE стороны AC=CE=d. Значит, он равнобедренный. Углы при основании β=180^°-α/2. В трапеции ABCD угол при основании A равен углу β треугольника ACE (так как AD лежит на AE). Угол при основании D смежный с углом CDE. Так как BC∥AD? Нет, мы строим BC∥AD. В параллелограмме BCDE (если мы так построили) угол CDE равен углу BCE. Это сложно. Стандартное решение учебника: 1. Построить △ACE (AC=CE=d,AE=a+b). 2. Найти середину AE? Нет. 3. Отложить на AE отрезок AD=a. Тогда DE=b. 4. Через D провести прямую, параллельную CE. Пересечение с прямой, проходящей через C параллельно AE, даст точку B. 5. Соединить A и B. Почему это работает? Четырехугольник BCDE имеет BC∥DE (по построению через параллельные прямые) и BE? Нет, BC лежит на прямой через C параллельной AE, а DE лежит на AE. Значит BC∥DE. Также DB? Мы провели DB∥CE. Значит BCDE — параллелограмм. Следовательно, BC=DE=b и BD=CE=d. Таким образом, в четырехугольнике ABCD: AD=a, BC=b, AC=d, BD=d. Диагонали равны, значит трапеция равнобедренная.

Проверка.

В полученной трапеции ABCD основания AD и BC параллельны по построению. Длины оснований равны заданным a и b. Диагональ AC взята из построения треугольника ACE и равна d. Диагональ BD является стороной параллелограмма BCDE, противолежащей стороне CE, поэтому BD=CE=d. Поскольку диагонали равны, трапеция является равнобедренной. Условия задачи выполнены.