ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 844

План решения.

Обозначим заданное отношение отрезков через k: AM/MC=CK/KB=MP/PK=k. Нам нужно выразить площади треугольников AMP и BKP через площадь всего треугольника ABC (обозначим её S) и параметр k, а затем исключить k, чтобы найти S через S₁ и S₂.

Вычисление площадей частей.

Рассмотрим треугольник AMK. Его площадь можно найти, сравнивая с площадью ABC. Сначала найдём площадь △AMC. Так как M лежит на AC и AM/MC=k, то AM/AC=k/(k+1). Следовательно, S_AMC=k/k+1S_ABC? Нет, это неверно для высоты. Правильнее использовать формулу площади через две стороны и синус угла. Пусть S_ABC=S. Тогда S_AMK можно представить как разность или сумму, но проще пойти другим путём: выразить доли сторон. 1. Относительно точки M: AM=k/k+1AC, MC=1/k+1AC. 2. Относительно точки K: CK=k/k+1BC, KB=1/k+1BC. 3. Относительно точки P: MP=k/k+1MK, PK=1/k+1MK. Найдём площадь △AMK. Она равна 1/2AM·AKsinA? Нет, угол A не связан напрямую с K. Лучше использовать метод «долей» от общей площади. Сравним S_AMK с S_ABC. Это сложно сделать напрямую. Попробуем выразить S_AMP и S_BKP через промежуточные площади. Заметим, что △AMP и △APK имеют общую высоту из вершины A к прямой MK. Поэтому их площади относятся как основания: S_AMP/S_APK=MP/PK=kimpliesS_APK=S_AMP/k=S₁/k. Тогда площадь △AMK=S₁+S₁/k=S₁(1+1/k)=S₁k+1/k. Аналогично для треугольника BMK (или лучше рассмотреть связь с B). Рассмотрим △BKP и △BPM. Они имеют общую высоту из B к MK. S_BPM/S_BKP=MP/PK=kimpliesS_BPM=kS_BKP=kS_2. Тогда площадь △BMK=S₂+kS₂=S₂(k+1). Теперь свяжем площади △AMK и △BMK с площадью △ABC. Это всё ещё требует знания углов или высот. Попробуем другой подход — координатный или векторный, либо использование формулы S=1/2absinC. Давайте выразим S_AMK через S_ABC. S_AMK=S_ABC-S_ABK-S_CMK. Это долго. Воспользуемся свойством медиан/cevian. Пусть S_ABC=S. Рассмотрим △ACK. S_ACK=CK/CBS_ABC=k/k+1S. В △ACK точка M делит сторону AC в отношении AM:MC=k:1. Значит, S_AMK=AM/ACS_ACK=k/k+1·k/k+1S=k²/(k+1)²S. Проверим это рассуждение. Да, высота из K к AC общая для △ACK и △AMK? Нет, основание на одной прямой AC. Высота из K к AC одна и та же. Основания AM и AC. Отношение площадей равно отношению оснований. Верно. Итак, S_AMK=k²/(k+1)²S. Мы уже нашли, что S_AMK=S₁k+1/k. Приравняем: S₁k+1/k=k²/(k+1)²SimpliesS₁=Sk³/(k+1)³. (·) Теперь найдем аналогичную формулу для S₂. Рассмотрим △BCM. S_BCM=MC/ACS_ABC=1/k+1S. В △BCM точка K лежит на стороне BC. Отношение BK:BC? Мы знаем CK/KB=k, значит KB/BC=1/(k+1). Площадь △BMK имеет общее основание BM? Нет. Угол при C общий? Нет. Рассмотрим △BMC. Площадь S_BMC=1/k+1S. Треугольник BMK является частью BMC. Их высоты из M к прямой BC одинаковы. Основания BK и BC. Отношение BK/BC=1/(k+1). Значит, S_BMK=BK/BCS_BMC=1/k+1·1/k+1S=1/(k+1)²S. С другой стороны, мы ранее вывели, что S_BMK=S₂(k+1). Приравняем: S₂(k+1)=1/(k+1)²SimpliesS₂=S/(k+1)³. (··) У нас есть система: 1) S₁=S(k/k+1)³ 2) S₂=S(1/k+1)³ Из этих равенств видно, что кубические корни от площадей пропорциональны соответствующим множителям. Возьмём кубический корень из обоих уравнений: 3S₁=3S·k/k+1 3S₂=3S·1/k+1 Сложим эти два выражения: 3S₁+3S₂=3S(k/k+1+1/k+1)=3S(k+1/k+1)=3S. Таким образом, 3S=3S₁+3S₂. Возводя в куб, получаем искомую площадь: S=(3S₁+3S₂)³.

Проверка.

Если k=1 (точки середины), то S₁=S/8 и S₂=S/8. Формула даёт (3S/8+3S/8)³=(2·3S/2)³=(3S)³=S. Всё сходится.