ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 810: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать теорему: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. (В тексте приведено решение с рисунком).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать теорему, воспользуемся методом от противного или свойством единственности окружности. Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором сумма противоположных углов равна 180o, то есть β+β′=180o и β1+β′1=180o. Нам нужно показать, что все четыре вершины лежат на одной окружности. Для этого опишем окружность вокруг трёх любых вершин (например, A,B,C) и докажем, что четвёртая вершина D также лежит на этой же окружности.
Ход вычислений и рассуждений.
1. Проведём диагональ AC. Она разбивает четырёхугольник на два треугольника: △ABC и △ADC. 2. Опишем окружность θ вокруг треугольника △ABC. Эта окружность проходит через точки A,B,C. 3. Предположим, что точка D не лежит на окружности θ. Тогда она находится либо внутри неё, либо снаружи. 4. Рассмотрим случай, когда D лежит внутри окружности. Продлим луч AD до пересечения с окружностью в точке D′. Точки A,B,C,D′ лежат на одной окружности, значит, для вписанного четырёхугольника ABCD′ выполняется равенство противоположных углов: β+β′D′=180o, где β′D′=angleAD′C. 5. В треугольнике △CDC′ (или используя свойства внешнего угла) угол angleADC является внешним для треугольника, образованного хордой и секущей, или проще: если D внутри, то угол angleADC>angleAD′C (так как он «смотрит» на ту же дугу ABC, но из внутренней точки). Следовательно, β′>β′D′. 6. Из условия задачи мы знаем, что β+β′=180o. Но так как β′>β′D′, то β+β′>β+β′D′=180o. Это противоречит тому, что сумма углов должна быть ровно 180o? Нет, здесь логика немного тоньше. Давай используем более строгий геометрический факт: величина вписанного угла зависит только от дуги. Если точка D смещается внутрь окружности, опирающейся на хорду AC, угол angleADC увеличивается по сравнению с углом angleAD′C, опирающимся на ту же дугу ABC. Значит, angleADC>angleAD′C. Поскольку angleABC+angleAD′C=180o (свойство вписанного четырёхугольника), то angleABC+angleADC>180o. Это противоречит условию angleABC+angleADC=180o. 7. Аналогично, если D лежит вне окружности, то угол angleADC<angleAD′C, и тогда angleABC+angleADC<180o, что также противоречит условию. 8. Единственный возможный вариант — точка D лежит точно на окружности θ.
Проверка и вывод.
Мы показали, что предположение о том, что вершина D не лежит на окружности, проходящей через A,B,C, приводит к противоречию с условием задачи (β+β′=180o). Следовательно, все четыре вершины A,B,C,D лежат на одной окружности. Теорема доказана.
Теорема доказана методом от противного: если бы четвертая вершина не лежала на окружности, описанной около трех других, сумма противоположных углов была бы больше или меньше 180°, что противоречит условию.
Использован классический метод доказательства через сравнение углов при смещении точки относительно окружности. Важно подчеркнуть зависимость величины угла от положения точки относительно дуги.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 810 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 810?
Краткий ответ: Теорема доказана методом от противного: если бы четвертая вершина не лежала на окружности, описанной около трех других, сумма противоположных углов была бы больше или меньше 180°, что противоречит условию.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.