ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 806: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Обозначим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть прямые AD и BC касаются окружности с центром O. Обозначим точки касания на прямой AD как K, а на прямой BC — как L. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то OK⊥AD и OL⊥BC. Поскольку AD∥BC, отрезки OK и OL лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям. Нам нужно доказать, что средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) проходит через точку O. Для этого воспользуемся методом координат или свойством равноудаленности точек от параллельных прямых.

Вычисление и логический вывод.

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Oy совпадала с прямой, содержащей радиусы OK и OL, а начало координат находилось в центре окружности O(0;0). Тогда уравнение прямой AD будет y=-R, а уравнение прямой BC — y=R, где R — радиус окружности. Пусть координаты вершин трапеции: A(x_A;-R), D(x_D;-R), B(x_B;R), C(x_C;R). Найдем координаты середины боковой стороны AB. Пусть это точка M. Ее координаты: x_M=x_A+x_B/2, y_M=-R+R/2=0 Аналогично найдем координаты середины боковой стороны CD. Пусть это точка N. Ее координаты: x_N=x_D+x_C/2, y_N=-R+R/2=0 Таким образом, обе точки M и N имеют ординату y=0. Это означает, что они лежат на оси абсцисс (Ox). Центр окружности O также имеет координаты (0;0) и лежит на этой же оси. Следовательно, прямая MN, проходящая через середины боковых сторон, совпадает с осью Ox и обязательно проходит через центр O.

Проверка результата.

Рассмотрим геометрический смысл полученного вывода. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и находится на равном расстоянии от них. Расстояние между основаниями равно диаметру окружности 2R (так как окружность касается обеих параллельных прямых). Значит, расстояние от каждой из оснований до средней линии равно R. Центр окружности удален от каждого основания ровно на радиус R. Следовательно, центр окружности лежит на геометрическом месте точек, равноудаленных от параллельных прямых AD и BC. Этим геометрическим местом является прямая, параллельная основаниям и находящаяся посередине между ними, то есть прямая, содержащая среднюю линию трапеции. Доказательство верно.