ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 801: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать независимость угла ∠CBD от выбора прямой m, воспользуемся свойством вписанных углов. В каждой из двух окружностей угол при вершине B опирается на дугу, которая не содержит эту вершину. Нам нужно выразить величину угла ∠CBD через дуги этих окружностей и показать, что сумма соответствующих дуг является постоянной величиной, не зависящей от положения секущей m.

Ход решения.

Рассмотрим первую окружность (назовём её O₁), проходящую через точки A,B,C. Угол ∠ABC является вписанным и опирается на дугу AC этой окружности. По теореме о вписанном угле:

Теперь рассмотрим вторую окружность (O₂), проходящую через точки A,B,D. Угол ∠ABD является вписанным и опирается на дугу AD этой окружности:

Прямая m проходит через точку A и пересекает окружности в точках C и D. Точки C,A,D лежат на одной прямой. Заметим, что величина угла ∠CBD зависит от взаимного расположения точек C и D относительно точки A. Однако более удобный путь — рассмотреть сумму или разность углов в зависимости от конфигурации, либо использовать свойство вертикальных углов и смежных углов с хордами.

Давайте подойдем к задаче иначе, используя фиксированные точки пересечения A и B. Проведем хорду AB. Она делит каждую окружность на две части. Пусть прямая m образует с хордой AB некоторый угол α=∠CAB (в первой окружности) и β=∠DAB (во второй). Так как C,A,D лежат на одной прямой, то ∠CAB+∠DAB=180^° (если A между C и D) или они равны как вертикальные (если C и D по одну сторону, но по условию прямая пересекает окружности , обычно подразумевается, что C и D — вторые точки пересечения, отличные от A).

Более строгий подход: Рассмотрим угол ∠CBD. Он складывается из углов ∠CBA и ∠ABD (или их разности, в зависимости от того, лежит ли луч BA внутри угла CBD). Предположим общий случай, когда A находится между C и D. Тогда:

Выразим эти углы через дуги:

Здесь возникает сложность: дуги CA и DA меняются при повороте прямой m. Но есть другой способ. Рассмотрим угол между касательными или используем факт, что угол между хордой и секущей связан с дугой.

Воспользуемся следующим свойством: величина угла ∠CBD равна половине суммы дуг CD (не содержащих B?) Нет, это неверно для разных окружностей.

Вернемся к определению вписанных углов. Зафиксируем положение точек A и B. Пусть прямая m поворачивается вокруг A. Обозначим угол наклона прямой m к хорде AB как φ. В первой окружности угол ∠BCA (или связанный с ним) будет зависеть от φ. Но нам нужен угол при вершине B.

Рассмотрим треугольник BCD? Нет, точки C и D на разных окружностях.

Ключевое наблюдение: Угол ∠CBD можно представить как сумму (или разность) углов ∠CBA и ∠DBA. В окружности O₁: ∠CBA опирается на дугу AC. Величина дуги AC связана с углом ∠ADC? Нет. Свяжем дугу AC с углом ∠ABC. А угол ∠ABC равен углу ∠ABK, где BK — касательная? Не удобно.

Используем тот факт, что угол между хордой и вписанным углом постоянен для данной дуги. Но дуга меняется.

Давайте посмотрим на угол ∠CBD как на угол, опирающийся на «фигурную» дугу? Нет.

Решение через параллельный перенос или касательные: Пусть t_A — общая касательная к обеим окружностям в точке A? Они не имеют общей касательной, если пересекаются под углом.

Правильное рассуждение: Обозначим ∠CAB=x. Тогда во второй окружности угол ∠DAB=180^°-x (так как CAD — прямая). В первой окружности вписанный угол ∠CDB? Нет, точка D не на первой. В первой окружности угол ∠ACB опирается на дугу AB. Дуга AB фиксирована! Следовательно, угол ∠ACB постоянен. Пусть ∠ACB=γ₁. Во второй окружности угол ∠ADB опирается на ту же дугу AB (но другую часть окружности?). Если точки C и D лежат по разные стороны от AB, то углы ∠ACB и ∠ADB опираются на одну и ту же дугу AB. Значит, ∠ACB=∠ADB (если они смотрят на одну дугу) или ∠ACB+∠ADB=180^° (если четырехугольник ACBD вписан в одну окружность, но здесь две разные).

Однако, нас интересует угол ∠CBD. Рассмотрим треугольник BCD? Нет. Рассмотрим угол ∠CBD=∠CBA+∠ABD. Известно, что ∠CBA=∠CDA? Нет, только если ABCD вписанный. Но мы можем выразить ∠CBA через угол ∠BCA и ∠BAC. В △ABC: ∠CBA=180^°-∠BCA-∠BAC. Угол ∠BCA опирается на дугу AB первой окружности. Эта дуга постоянна, значит ∠BCA=const=k₁. Угол ∠BAC — это угол между хордой AB и секущей m. Он меняется. Аналогично для △ABD: ∠ABD=180^°-∠BDA-∠BAD. Угол ∠BDA опирается на дугу AB второй окружности. Эта дуга постоянна, значит ∠BDA=const=k₂. Угол ∠BAD — это угол между хордой AB и секущей m. Так как C-A-D прямая, то ∠BAD=180^°-∠BAC. Подставим в выражение для ∠CBD: ∠CBD=∠CBA+∠ABD ∠CBD=(180^°-k₁-∠BAC)+(180^°-k₂-(180^°-∠BAC)) ∠CBD=180^°-k₁-∠BAC+180^°-k₂-180^°+∠BAC ∠CBD=180^°-k₁-k₂

Переменная ∠BAC сокращается! Величины k₁ и k₂ — это вписанные углы, опирающиеся на фиксированные дуги AB соответствующих окружностей. Следовательно, угол ∠CBD постоянен.

Проверка вывода.

Мы предположили, что луч BA лежит внутри угла CBD. Если конфигурация другая (например, C и D по одну сторону от AB или порядок точек иной), знаки могут измениться, но линейная комбинация углов все равно приведет к сокращению переменной части угла наклона прямой m. Например, если ∠CBD=|∠CBA-∠ABD|, то аналогично переменные углы при вершине A будут иметь одинаковый знак или противоположный, что также приводит к независимости результата от m. Главное, что углы при основании C и D (∠BCA и ∠BDA) являются константами, так как опираются на неподвижные дуги AB.