ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 798: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны две окружности радиусов r и R. Расстояние между их центрами равно d (d > R+r). Найдите отрезок их общей
а) внешней касательной
б) внутренней касательной.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения длины отрезка общей касательной между двумя окружностями воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные линиями центров и радиусами, проведёнными в точки касания. Гипотенузой такого треугольника является расстояние между центрами d, а одним из катетов — разность или сумма радиусов (в зависимости от типа касательной). Искомый отрезок касательной будет вторым катетом.
Вычисление для пункта а) внешней касательной.
Пусть O1 и O2 — центры окружностей с радиусами r и R. Проведем внешнюю общую касательную, касающуюся окружностей в точках A и B. Радиусы O1A и O2B перпендикулярны касательной. Из центра меньшей окружности O1 проведем прямую, параллельную касательной AB, до пересечения с радиусом O2B в точке C. Получили прямоугольник O1ABC и прямоугольный треугольник O1CO2.
В треугольнике O1CO2: гипотенуза O1O2=d. Катет O2C=O2B-CB=R-r (так как CB=O1A=r). Катет O1C равен искомому отрезку касательной AB. По теореме Пифагора:
AB2+(R-r)2=d2 AB=d2-(R-r)2Вычисление для пункта б) внутренней касательной.
Рассмотрим внутреннюю общую касательную, пересекающую отрезок O1O2. Пусть она касается окружностей в точках M и N. Аналогично предыдущему пункту, из центра O1 проведем линию, параллельную касательной MN, до пересечения с продолжением радиуса O2N в точке K. Образуется прямоугольный треугольник O1KO2.
В этом треугольнике: гипотенуза O1O2=d. Катет O2K=O2N+NK=R+r (так как NK=O1M=r). Катет O1K равен искомому отрезку касательной MN. По теореме Пифагора:
MN2+(R+r)2=d2 MN=d2-(R+r)2Проверка.
По условию задачи d>R+r. Это означает, что под корнем в пункте б) стоит положительное число (d2-(R+r)2>0), так как d2>(R+r)2. Для пункта а) условие d>R+r также гарантирует, что d>|R-r|, поэтому подкоренное выражение d2-(R-r)2 положительно. Решения существуют и имеют геометрический смысл.
а) d2-(R-r)2
б) d2-(R+r)2
Использована стандартная методика построения вспомогательного прямоугольного треугольника через параллельную перенос касательной. В пункте а) катет равен разности радиусов, в пункте б) — сумме радиусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 798 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 798?
Краткий ответ: а) d^2 - (R-r)^2 б) d^2 - (R+r)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.