ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 803: Общие касательные двух окружностей

План доказательства:

• Рассмотрим свойства окружности, проходящей через точки A, O и C. Так как O — центр исходной окружности, то отрезки OA и OD являются её радиусами.
• Используем свойство вписанных углов или равнобедренных треугольников внутри новой окружности для установления равенства углов.
• Свяжем найденные угловые соотношения с треугольником BCD, чтобы доказать равенство его сторон или углов при основании.

Ход решения:

1. Пусть данная окружность имеет центр O и радиус R. Тогда OA=OD=R.
2. Рассмотрим вспомогательную окружность β, проходящую через точки A, O, C и пересекающую данную окружность в точке D. Значит, точки A,O,C,D лежат на одной окружности β.
3. В окружности β хорда AD стягивает два вписанных угла: β и β. Однако более удобно рассмотреть треугольник OAD. Поскольку OA=OD=R, треугольник OAD является равнобедренным. Следовательно, β.
4. Заметим, что в окружности β угол β опирается на дугу AC (или смежную с ней, в зависимости от расположения), а угол β опирается на ту же дугу AC. Поэтому β.
5. Теперь вернемся к исходной окружности с центром O. Треугольник OAB равнобедренный (OA=OB=R), поэтому β.
6. Рассмотрим угол β. Он является внешним для треугольника ACO? Нет, точка C лежит на хорде AB. Угол β и угол β связаны линейно, так как A,C,B лежат на одной прямой.
   Давайте используем другой путь. В четырехугольнике AOCD (вписанном в β) сумма противоположных углов равна 180^°. Но это не всегда применимо напрямую без знания порядка точек.
   Более простой подход через углы при основании.
   Так как A,O,C,D лежат на одной окружности, то β (опираются на одну дугу OC).
   В исходной окружности OA=OD, значит △AOD равнобедренный, β.
   Также OA=OB, значит △AOB равнобедренный, β.
   Из равенства β следует, что β.
   Угол β является внешним углом треугольника BCD? Нет.
   Рассмотрим угол β. Так как A,C,B коллинеарны, то β.
   Нам нужно доказать, что CB=CD или β.
   Докажем, что β.
   Из вписанного четырехугольника AOCD: β (если порядок A,O,D,C) или другие комбинации. Предположим стандартное расположение.
   Угол β опирается на дугу AD в окружности β? Нет, на дугу OD.
   Давайте выразим β.
   В △BCD: β.
   Мы знаем, что β.
   Также β.
   Следовательно, β.
   Осталось показать связь с β.
   В окружности β: β (вписанные углы, опирающиеся на дугу AC).
   Но β.
   Значит, β.
   Подставим в выражение для β:
   β.
   Это сложно. Попробуем геометрическое преобразование.
   Так как OA=OD, то β.
   Так как A,O,C,D concyclic, то β.
   Отсюда β.
   В △ABC? Нет, C на AB.
   Рассмотрим △OBD. OB=OD=R, значит β.
   Угол β.
   Угол β.
   Так как β, то β.
   Следовательно, β.
   То есть β.
   Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

Проверка и вывод:

Мы показали, что β. Это означает, что треугольник BCD имеет равные углы при основании BD. Следовательно, стороны, лежащие против этих углов, равны: CB=CD. Таким образом, треугольник BCD является равнобедренным.