ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 804: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать утверждение, вспомним два ключевых факта. Во-первых, по определению прямоугольника все его углы равны 90^°. Во-вторых, окружность можно вписать только в тот четырёхугольник, у которого суммы противоположных сторон равны (свойство описанного четырёхугольника). Нам нужно показать, что при выполнении этих условий прямоугольник становится квадратом, то есть все его стороны становятся равными.

Ход решения.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами a и b. Так как это прямоугольник, то противоположные стороны равны: AB=CD=a и BC=AD=b. По условию задачи в этот прямоугольник можно вписать окружность. Это означает, что данный прямоугольник является описанным около окружности. Для любого описанного четырёхугольника верно равенство сумм длин противоположных сторон: AB+CD=BC+AD Подставим обозначения сторон прямоугольника в это равенство: a+a=b+b 2a=2b Разделив обе части на 2, получаем: a=b Так как смежные стороны прямоугольника равны (a=b), а все углы прямые, то по определению такой прямоугольник является квадратом.

Проверка и вывод.

Действительно, если мы возьмём квадрат со стороной x, то сумма противоположных сторон будет x+x=2x с обеих сторон, условие описанности выполняется. Центр квадрата равноудалён от всех его сторон, поэтому окружность радиуса x/2 действительно впишется в него. Таким образом, единственная форма прямоугольника, допускающая вписывание окружности — это квадрат. Утверждение доказано.