ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 808: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Также учтём особенность прямоугольной трапеции: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и равна высоте трапеции, а также диаметру вписанной окружности (2r). Вторая боковая сторона будет выражена через основания и высоту с помощью теоремы Пифагора.
Вычисление.
Пусть a и b — основания трапеции (для определённости пусть a>b), а r — искомый радиус вписанной окружности.
1. Так как окружность вписана, то сумма оснований равна сумме боковых сторон:
a+b=c1+c2где c1 и c2 — боковые стороны.
2. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона является высотой трапеции h. Поскольку окружность касается обоих оснований, расстояние между ними равно диаметру окружности:
h=c1=2r3. Найдём вторую боковую сторону c2. Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с катетами h=2r и (a-b), и гипотенузой c2. По теореме Пифагора:
c2=(a-b)2+(2r)24. Подставим выражения для c1 и c2 в формулу суммы противоположных сторон:
a+b=2r+(a-b)2+4r25. Решим полученное уравнение относительно r. Перенесём 2r влево:
a+b-2r=(a-b)2+4r2Возведём обе части в квадрат:
(a+b-2r)2=(a-b)2+4r2Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (x-y)2=x2-2xy+y2, где x=a+b и y=2r:
(a+b)2-2(a+b)(2r)+(2r)2=(a-b)2+4r2 (a+b)2-4r(a+b)+4r2=(a-b)2+4r2Сократим 4r2 с обеих сторон:
(a+b)2-4r(a+b)=(a-b)2Перенесём слагаемое с r вправо, а остальное влево:
(a+b)2-(a-b)2=4r(a+b)Упростим левую часть по формуле разности квадратов x2-y2=(x-y)(x+y):
((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b))=4r(a+b) (2b)(2a)=4r(a+b) 4ab=4r(a+b)Разделим обе части на 4(a+b):
r=ab/a+bПроверка.
Рассмотрим частный случай: если трапеция вырождается в квадрат со стороной a=b. Тогда формула даёт r=a·a/a+a=a2/2a=a/2. Это верно, так как радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной a, равен половине его стороны. Формула симметрична относительно a и b, что логично, так как не важно, какое основание называть большим при выводе итоговой зависимости.
r = ab/a+b
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 808 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 808?
Краткий ответ: r = aba+b.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.