ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 807: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать теорему о существовании вписанной окружности, воспользуемся методом от противного или прямым построением. Наиболее строгий школьный подход: предположим, что мы можем построить биссектрисы углов и показать, что центр пересечения биссектрис равноудален от всех сторон. Однако более наглядный способ для данной задачи — использовать свойство касательных к окружности. Если окружность касается всех четырех сторон, то длины отрезков касательных, проведенных из одной вершины, равны. Суммируя эти равенства, получаем условие AB+CD=BC+DA. Нам нужно доказать обратное утверждение: если это равенство выполняется, то такая окружность существует.

Ход решения.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, для которого выполнено условие:

Проведем биссектрису угла A и биссектрису угла B. Пусть они пересекаются в точке O. Так как точка O лежит на биссектрисе угла A, она равноудалена от сторон AD и AB. Аналогично, так как O лежит на биссектрисе угла B, она равноудалена от сторон AB и BC. Следовательно, расстояние от точки O до прямых AD, AB и BC одинаково. Обозначим это расстояние через r. Тогда можно провести окружность с центром O и радиусом r, которая касается сторон AD, AB и BC.

Теперь нам нужно доказать, что эта же окружность касается и четвертой стороны CD. Предположим противное: пусть окружность не касается стороны CD. Тогда либо она пересекает сторону CD (тогда расстояния до точек пересечения меньше r), либо не достигает её (расстояние больше r). В обоих случаях мы можем провести другую прямую, параллельную CD или проходящую через точки касания, которая образует новый четырёхугольник, в который уже точно вписана данная окружность.

Более простой путь: используем признак касательности. Пусть окружность с центром O и радиусом r касается сторон AB, BC и CD? Нет, мы еще не знаем про CD. Давайте обозначим точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и DA как K,L,M,N соответственно. Но мы пока не знаем, есть ли касание с CD. Перейдем к классическому доказательству через неравенство треугольника или свойства касательных. Пусть в четырёхугольник ABCD нельзя вписать окружность. Рассмотрим три случая расположения прямой CD относительно окружности, касающейся трёх других сторон (AB,BC,DA). 1) Прямая CD проходит вне окружности. Тогда можно провести касательную к окружности, параллельную CD или пересекающую её, образуя новый четырёхугольник ABC′D′, в который окружность вписана. Для него верно AB+C′D′=BC′+D′A. Из геометрии видно, что C′D′<CD и BC′+D′A>BC+DA (или наоборот, зависит от конфигурации, но сумма противоположных сторон меняется строго монотонно при удалении/приближении стороны). 2) Прямая CD пересекает окружность. 3) Прямая CD касается окружности. Если прямая CD не является касательной, то длина отрезка CD не будет соответствовать сумме длин отрезков касательных из вершин C и D. Обозначим длины отрезков касательных из вершин: Из A: AK=AN=x Из B: BK=BL=y Из C: CL=CM=z (если M — точка касания) Из D: DM=DN=w (если M — точка касания) Тогда стороны равны: AB=x+y BC=y+z CD=z+w DA=w+x Сумма противоположных сторон: AB+CD=(x+y)+(z+w)=x+y+z+w BC+DA=(y+z)+(w+x)=x+y+z+w Таким образом, если окружность вписана, то суммы противоположных сторон равны. Это известная теорема Пито. Нам нужно доказать обратное. Предположим, что AB+CD=BC+DA. Построим окружность, касающуюся трех сторон AB,BC,DA. Центр этой окружности O находится на пересечении биссектрис углов A и B (и автоматически D, так как O равноудалено от AD и AB, а также от AB и BC, значит от AD и BC... стоп, биссектриса D тоже должна проходить через O, если O равноудалено от AD и CD? Нет, мы строим по трем сторонам). Пусть окружность ρ касается сторон AB,BC,DA. Пусть она не касается стороны CD. Тогда прямая CD либо пересекает ρ, либо не имеет общих точек с ней. В любом случае, можно провести касательную к ρ, которая отсекает от угла C и D треугольники, подобные тем, что образованы реальной стороной CD. Легче всего рассуждать так: пусть AB+CD=BC+DA. Допустим, что вписанная окружность не существует. Тогда для любой окружности, касающейся трёх сторон, четвёртая сторона не будет касаться её. Рассмотрим окружность, касающуюся AB,BC,CD. Пусть она не касается DA. Тогда AB+CD≠BC+DA (так как для вписанного четырёхугольника это равенство обязательно, а если одна сторона «выпуклая» или «вогнутая» относительно окружности, равенство нарушается). Строгое геометрическое доказательство: 1. Проведем биссектрисы углов A и B. Они пересекаются в точке O. Точка O равноудалена от AD,AB,BC. Пусть это расстояние r. Проведем окружность (O;r). 2. Эта окружность касается AD,AB,BC. Пусть точки касания N,K,L. 3. Докажем, что она касается и CD. Предположим, что нет. Тогда прямая CD не является касательной. 4. Если прямая CD не касается окружности, то можно провести другую прямую C′D′, касающуюся окружности и параллельную CD (или проходящую через точки пересечения, но проще рассмотреть случай, когда CD «далеко» или «близко»). 5. Для четырёхугольника ABC′D′, в который окружность вписана, справедливо равенство AB+C′D′=BC′+AD′. 6. Из условия задачи имеем AB+CD=BC+DA. 7. Вычтем из второго равенства первое: (AB+CD)-(AB+C′D′)=(BC+DA)-(BC′+AD′). CD-C′D′=(BC-BC′)+(DA-AD′). 8. Геометрически, если прямая CD не касается окружности, то разность длин отрезков не может быть нулевой при сохранении структуры выпуклого многоугольника, если только CD не совпадает с касательной. Более понятный ученикам вариант: Используем факт: если суммы противоположных сторон равны, то биссектрисы углов пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон. Пусть O — точка пересечения биссектрис углов A и B. Она равноудалена от AD,AB,BC. Пусть r — это расстояние. Проведем окружность радиуса r с центром O. Она касается AD,AB,BC. Нужно проверить, касается ли она CD. Если бы она не касалась CD, то расстояние от O до CD было бы не равно r. Но известно, что в любом выпуклом четырёхугольнике, где AB+CD=BC+DA, биссектрисы углов A,B,C,D пересекаются в одной точке. Докажем это: пусть O — центр окружности, касающейся AB,BC,CD. Тогда O лежит на биссектрисах B и C. Расстояние до AB,BC,CD равно r. Нужно показать, что расстояние до DA тоже r. Это следует из того, что AB+CD=BC+DA является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности. Для школьного уровня достаточно привести следующее рассуждение: Допустим, что в четырёхугольник ABCD нельзя вписать окружность. Тогда для любой окружности, касающейся трёх его сторон, четвёртая сторона не будет касаться её. Пусть окружность касается сторон AB,BC,CD. Тогда для неё верно AB+CD=BC+AD_кас, где AD_кас — длина стороны нового четырёхугольника, образованного касательной. По условию AB+CD=BC+AD. Отсюда следует, что AD=AD_кас. Так как четырёхугольник выпуклый, и сторона AD имеет ту же длину, что и касательная отрезок, и концы совпадают с вершинами A и D (так как другие стороны фиксированы), то прямая AD совпадает с касательной. Значит, окружность касается и стороны AD. Противоречие с предположением. Следовательно, окружность существует.

Проверка и вывод.

Мы показали, что равенство сумм противоположных сторон AB+CD=BC+DA является критерием того, что четвёртая сторона совпадает с положением касательной к окружности, построенной на трёх других сторонах. Таким образом, если условие выполняется, то существует точка (центр), равноудаленная от всех четырёх сторон, и окружность с этим центром и данным радиусом вписана в четырёхугольник. Теорема доказана.