ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 799: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Для доказательства равенства градусных мер дуг AB и AB₁ воспользуемся свойством перпендикулярного диаметра к хорде. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам и делит соответствующие ей дуги на две равные части. Нам нужно показать, что дуга AB (меньшая полуокружности) равна дуге AB₁ (меньшая полуокружности).

Ход доказательства.

Пусть диаметр AA₁ пересекает хорду BB₁ в точке M. По условию AA₁⊥BB₁. Согласно теореме о перпендикуляре из центра окружности к хорде, если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через середину этой хорды и делит обе дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Рассмотрим дугу BAB₁, которая не содержит точку A₁ (или просто верхнюю часть окружности относительно хорды). Так как AA₁ — ось симметрии для отрезка BB₁ (так как BM=MB₁ и углы при M прямые), то точка A равноудалена от точек B и B₁. Более строго: треугольники AMB и AMB₁ равны по двум катетам (AM — общий, BM=MB₁). Следовательно, гипотенузы AB и AB₁ равны. Равные хорды стягивают равные дуги. Значит, дуга AB равна дуге AB₁.

Также можно рассуждать через центральные углы. Пусть O — центр окружности. Треугольник BOB₁ — равнобедренный (OB=OB₁=R). Высота OM является также медианой и биссектрисой угла BOB₁. Следовательно, △BOM=△B₁OM, откуда arcAB=arcAB₁ (если считать от точки A до конца хорды). Поскольку дуги AB и AB₁ меньшие полуокружности, их равенство следует непосредственно из симметрии относительно диаметра AA₁.

Проверка.

Если бы дуги были неравны, то хорда BB₁ не была бы перпендикулярна диаметру AA₁, проходящему через середину дуги BAB₁. Но по условию перпендикулярность задана. Следовательно, предположение верно, и дугы равны.