ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 796: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Обозначим центр окружности как O, а точки касания с двумя параллельными прямыми — как A и B. Пусть секущая пересекает эти прямые в точках C и D, а сама касается окружности в точке E. Нам нужно доказать, что угол ∠COD=90^irc. Для этого воспользуемся свойством касательных: отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, а радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Также учтём, что параллельные прямые, касающиеся окружности, проходят через концы диаметра, перпендикулярного им.

Вычисление и логический вывод.

Так как прямые AC и BD параллельны и касаются окружности в точках A и B, то отрезок AB является диаметром окружности, и он перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, OA⊥AC и OB⊥BD. Рассмотрим треугольники △OAC и △OEC. В них: 1) OA=OE (радиусы); 2) OC — общая сторона; 3) ∠OAC=∠OEC=90^irc (так как AC и CE — части касательных). Значит, △OAC=△OEC по гипотенузе и катету. Отсюда следует равенство углов: ∠AOC=∠EOC. Аналогично рассмотрим треугольники △OBD и △OED. Так как OB=OE (радиусы), OD — общая сторона, и ∠OBD=∠OED=90^irc, то △OBD=△OED. Следовательно, ∠BOD=∠EOD. Теперь выразим искомый угол ∠COD: ∠COD=∠COE+∠EOD. Заметим, что сумма всех углов вокруг точки O на стороне прямой AB составляет 180^irc, так как A,O,B лежат на одной прямой (диаметре). То есть: ∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOB=180^irc. Подставим найденные равенства (∠AOC=∠COE и ∠DOB=∠EOD): 2∠COE+2∠EOD=180^irc. Разделим на 2: ∠COE+∠EOD=90^irc. Поскольку ∠COD=∠COE+∠EOD, получаем ∠COD=90^irc.

Проверка.

Логика опирается на фундаментальные свойства касательных к окружности и равенство прямоугольных треугольников. Углы при центре, соответствующие половинам дуг, отсекаемых касательными, действительно складываются в половину развернутого угла, если касательная «переходит» между двумя параллельными касательными. Результат подтверждает утверждение задачи.