ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 793: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK, BM и CN, которые пересекаются в точке H. Доказать, что около каждого из четырёхугольников CMHK, AMHN и BNHK можно описать окружность.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать возможность описания окружности около четырёхугольника, необходимо воспользоваться признаком вписанного четырёхугольника: если сумма противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность. В условии даны три высоты треугольника ABC: AK⊥BC, BM⊥AC и CN⊥AB. Точка пересечения высот — ортоцентр H. Нам нужно рассмотреть три четырёхугольника: CMHK, AMHN и BNHK и найти суммы их противоположных углов.
Вычисление и доказательства для каждого случая.
1. Четырёхугольник CMHK.
Рассмотрим углы при вершинах M и K. Так как BM — высота к стороне AC, то ∠BMC=90°, следовательно, ∠HMC=90°. Аналогично, так как AK — высота к стороне BC, то ∠AKC=90°, следовательно, ∠HKC=90°.
Сумма противоположных углов ∠HMC и ∠HKC равна:
∠HMC+∠HKC=90°+90°=180°
Так как сумма противоположных углов равна 180°, около четырёхугольника CMHK можно описать окружность.
2. Четырёхугольник AMHN.
Рассмотрим углы при вершинах N и M. Так как CN — высота к стороне AB, то ∠CNA=90°, следовательно, ∠HNA=90°. Так как BM — высота к стороне AC, то ∠BMA=90°, следовательно, ∠HMA=90°.
Сумма противоположных углов ∠HNA и ∠HMA равна:
∠HNA+∠HMA=90°+90°=180°
Следовательно, около четырёхугольника AMHN можно описать окружность.
3. Четырёхугольник BNHK.
Рассмотрим углы при вершинах N и K. Так как CN — высота к стороне AB, то ∠CNB=90°, следовательно, ∠HNB=90°. Так как AK — высота к стороне BC, то ∠AKB=90°, следовательно, ∠HKB=90°.
Сумма противоположных углов ∠HNB и ∠HKB равна:
∠HNB+∠HKB=90°+90°=180°
Значит, около четырёхугольника BNHK также можно описать окружность.
Проверка.
Во всех трёх случаях мы использовали определение высоты треугольника (перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону), что гарантирует наличие прямых углов (90°) в соответствующих вершинах четырёхугольников. Сложение двух прямых углов всегда даёт развёрнутый угол (180°). Условие остроугольности треугольника гарантирует, что ортоцентр H лежит внутри треугольника, а основания высот K,M,N лежат на сторонах, поэтому рассмотренные четырёхугольники являются выпуклыми и корректно определены. Логика доказательства полностью согласуется с теоремой о вписанных четырёхугольниках.
Доказано, что в каждом из четырёхугольников CMHK, AMHN и BNHK сумма противоположных углов равна 180°, так как они образованы прямыми углами при основаниях высот.
Задача сводится к применению признака вписанного четырёхугольника. Ключевой момент — понимание того, что высоты образуют прямые углы со сторонами треугольника. В каждом рассматриваемом четырёхугольнике два противоположных угла являются прямыми (по 90 градусов), их сумма равна 180 градусов, что является достаточным условием для существования описанной окружности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 793 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 793?
Краткий ответ: Доказано, что в каждом из четырёхугольников CMHK, AMHN и BNHK сумма противоположных углов равна 180°, так как они образованы прямыми углами при основаниях высот.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.