ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 791: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Вспомним свойство параллелограмма: его противоположные углы равны. Также вспомним признак того, что около четырёхугольника можно описать окружность (или, точнее, вписать в него): сумма противоположных углов такого четырёхугольника должна быть равна 180^°. Нам нужно совместить эти два факта для параллелограмма и сделать вывод о величине его углов.

Ход решения.

Пусть дан параллелограмм ABCD, около которого можно описать окружность. Так как ABCD — параллелограмм, то по определению его противоположные углы равны: ∠A=∠C ∠B=∠D По условию задачи, около этого параллелограмма можно описать окружность. Это означает, что параллелограмм является вписанным в эту окружность. Для любого вписанного четырёхугольника верно следующее свойство: суммы противоположных углов равны 180^°. Следовательно: ∠A+∠C=180^° Подставим равенство ∠A=∠C в это уравнение: ∠A+∠A=180^° 2∠A=180^° ∠A=90^° Аналогично рассуждая для другой пары углов (∠B и ∠D): ∠B+∠D=180^° Так как ∠B=∠D, то: 2∠B=180^°implies∠B=90^° Таким образом, мы получили, что все углы параллелограмма ABCD прямые (∠A=∠B=∠C=∠D=90^°).

Проверка и вывод.

По определению, параллелограмм с прямыми углами называется прямоугольником. Мы доказали, что если около параллелограмма можно описать окружность, то его углы равны 90^°, следовательно, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.