ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 790: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать возможность описания окружности вокруг четырёхугольника, необходимо показать, что существует точка, равноудалённая от всех его вершин. Эта точка является центром описанной окружности и находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Мы будем использовать свойства диагоналей и симметрии данных фигур.

а) Доказательство для прямоугольника.

Рассмотрим произвольный прямоугольник ABCD. Проведём в нём две диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O. По свойству прямоугольника, его диагонали равны (AC=BD) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки AO, BO, CO и DO равны между собой: AO=BO=CO=DO=1/2AC. Поскольку все четыре вершины прямоугольника находятся на одинаковом расстоянии от точки O, то окружность с центром в точке O и радиусом R=AO проходит через все вершины A,B,C,D. Таким образом, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.

б) Доказательство для равнобедренной трапеции.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC (AD∥BC) и боковыми сторонами AB=CD. Проведём диагонали AC и BD. В равнобедренной трапеции диагонали равны: AC=BD. Также треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам (AB=CD, BC — общая, AC=BD), откуда следует равенство углов при основании диагоналей: ∠ACB=∠DBC. Это означает, что треугольник BOC (где O — точка пересечения диагоналей) является равнобедренным, поэтому OB=OC. Аналогично, из равенства треугольников ABD и DCA следует, что OA=OD. Так как AC=BD, а OC=OB, то оставшиеся части диагоналей также равны: OA=AC-OC=BD-OB=OD. Итого имеем цепочку равенств: OA=OB=OC=OD. Все вершины трапеции равноудалены от точки пересечения диагоналей O. Значит, окружность с центром O и радиусом OA проходит через все вершины трапеции. Возможность описания доказана.