ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 786: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать формулу площади описанного многоугольника: она равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы вывести формулу площади описанного многоугольника, разобьём его на треугольники. Для этого проведём отрезки из центра вписанной окружности к каждой вершине многоугольника. Получившиеся треугольники имеют общую высоту, равную радиусу вписанной окружности r, так как стороны многоугольника являются касательными к этой окружности и перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания.
Вычисление.
Пусть данный описанный многоугольник имеет n сторон с длинами a1,a2,…,an. Тогда его периметр равен сумме этих сторон: P=a1+a2+…+an.
Разбивая многоугольник на n треугольников с основанием ai и высотой r, запишем площадь каждого треугольника по формуле Si=1/2air. Общая площадь многоугольника S равна сумме площадей всех этих треугольников:
S=S1+S2+…+Sn=1/2a1r+1/2a2r+…+1/2anr.Вынесем общий множитель 1/2r за скобки:
S=1/2r(a1+a2+…+an).Так как выражение в скобках представляет собой периметр многоугольника P, получаем итоговую формулу:
S=1/2Pr.Проверка и вывод.
Мы показали, что площадь любого описанного многоугольника действительно складывается из площадей треугольников, высота которых равна радиусу вписанной окружности. Таким образом, доказано, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности.
Доказано: S=1/2Pr
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 786 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 786?
Краткий ответ: Доказано: S = 12Pr.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.