ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 780: Общие касательные двух окружностей

План доказательства:

Для решения задачи нам потребуется рассмотреть прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Согласно теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, является прямым (90^°). Таким образом, если мы возьмём произвольную точку C на окружности и соединим её с концами диаметра AB, то получим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Перпендикуляр CD, опущенный из вершины прямого угла C на гипотенузу AB, делит её на два отрезка: AD и DB. Нам нужно доказать, что длина перпендикуляра CD является средним пропорциональным между длинами этих отрезков, то есть выполняется равенство CD²=AD·DB.

Вычисление и обоснование:

Рассмотрим подобие треугольников. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD, проведённая к гипотенузе, разбивает исходный треугольник на два меньших треугольника: ADC и CDB. Эти треугольники подобны друг другу и исходному треугольнику ABC. Докажем подобие △ADC∼△CDB: 1) Углы при основании D прямые: ∠ADC=∠CDB=90^°. 2) Обозначим ∠A=α. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^°, то в △ABC: ∠B=90^°-α. 3) В △ADC: ∠ACD=90^°-∠A=90^°-α. 4) Следовательно, ∠ACD=∠B (оба равны 90^°-α). Таким образом, по двум углам △ADC∼△CDB.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: AD/CD=CD/DB Умножив крест-накрест, получаем искомое соотношение: CD²=AD·DB

Проверка и вывод:

Полученное равенство CD²=AD·DB означает, что отрезок CD является средним геометрическим (средним пропорциональным) между отрезками AD и DB, на которые он делит диаметр AB. Это классическое свойство высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Поскольку любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, данное утверждение верно для любой точки C на окружности. Доказательство завершено.