ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 778: Общие касательные двух окружностей

План решения:

Для доказательства равенства углов ∠MAB и ∠ACB воспользуемся свойствами касательной к окружности и прямоугольного треугольника. Сначала определим величину угла ∠ABC, опираясь на то, что он вписан в полукруг. Затем выразим угол ∠MAB через угол ∠BAC, используя перпендикулярность радиуса (или диаметра) и касательной. Наконец, сравним полученные выражения.

Ход доказательства:

1. Так как AC — диаметр окружности, а точка B лежит на окружности, то вписанный угол ∠ABC является прямым. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный с гипотенузой AC. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90^°. Поэтому: ∠ACB+∠BAC=90^° Отсюда выразим угол ∠ACB: ∠ACB=90^°-∠BAC
2. По условию MA — касательная к окружности, проведённая в точке A. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Так как AC — диаметр, проходящий через точку касания A, то AC⊥MA. Это означает, что угол между диаметром и касательной равен 90^°: ∠MAC=90^°
3. Угол ∠MAC состоит из двух смежных углов: ∠MAB и ∠BAC (так как по условию угол MAB острый, луч AB находится внутри прямого угла MAC). Запишем это соотношение: ∠MAB+∠BAC=90^° Выразим отсюда угол ∠MAB: ∠MAB=90^°-∠BAC
4. Сравнивая результаты пунктов 1 и 3, мы видим, что оба угла (∠ACB и ∠MAB) равны одному и тому же выражению 90^°-∠BAC. Следовательно, эти углы равны между собой. ∠MAB=∠ACB

Проверка:

Логика построена верно: использованы базовые теоремы геометрии (вписанный угол, опирающийся на диаметр; перпендикулярность касательной и радиуса). Условие остроты угла MAB гарантирует корректное расположение лучей и отсутствие неоднозначности при разложении угла MAC. Доказательство завершено.