ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 782: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Требуется доказать, что центры этих окружностей лежат на прямой OA.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства:
Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла. Известно, что центр окружности, касающейся обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Нам нужно показать, что центры двух данных окружностей и точка их касания A лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла O. Для этого рассмотрим радиусы, проведённые к точкам касания со сторонами угла.
Ход вычислений и рассуждений:
Пусть O1 и O2 — центры первой и второй окружностей соответственно. По условию стороны угла O являются общими внешними касательными для этих двух окружностей. Это означает, что каждая из окружностей касается обеих сторон угла O.
Рассмотрим первую окружность с центром O1. Проведём радиусы O1M и O1N к точкам касания со сторонами угла O, где M и N — точки касания. Тогда O1M⊥OM и O1N⊥ON. Прямоугольные треугольники △OMO1 и △ONO1 равны по гипотенузе (OO1 общая) и катету (O1M=O1N=R1). Следовательно, ∠MOO1=∠NOO1, то есть луч OO1 является биссектрисой угла O.
Аналогично для второй окружности с центром O2: проведём радиусы к точкам касания со сторонами угла. Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников следует, что луч OO2 также является биссектрисой угла O.
Так как у данного угла существует только одна биссектриса, то лучи OO1 и OO2 совпадают. Значит, центры O1 и O2 лежат на одной прямой, проходящей через вершину угла O.
Теперь учтём условие о том, что окружности имеют общую касательную в точке A. Если две окружности касаются друг друга (внешним или внутренним образом), то их центры и точка касания всегда лежат на одной прямой. Таким образом, прямая O1O2 проходит через точку A. Поскольку мы уже доказали, что O1 и O2 лежат на биссектрисе угла O, то вся эта прямая совпадает с биссектрисой. Следовательно, центры окружностей O1 и O2 лежат на прямой OA.
Проверка результата:
Логика построения непротиворечива: свойства касательных к углу однозначно определяют положение центров на биссектрисе, а свойство касания двух окружностей связывает эти центры с точкой касания A. Утверждение доказано.
Доказано, что центры окружностей лежат на биссектрисе угла O, которая проходит через точку A.
Задача требует знания свойств биссектрисы угла и взаимного расположения центров касающихся окружностей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 782 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 782?
Краткий ответ: Доказано, что центры окружностей лежат на биссектрисе угла O, которая проходит через точку A.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.