ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 774: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Для того чтобы доказать равенство дуг, заключенных между параллельными хордами, воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и вписанных углов. Пусть даны две параллельные хорды AB и CD. Нам нужно доказать, что дуга AC равна дуге BD (или наоборот, в зависимости от расположения). Соединим концы хорд диагоналями или боковыми сторонами, чтобы образовать четырехугольник, и покажем, что соответствующие ему вписанные углы равны.

Ход решения.

1. Рассмотрим окружность с центром O. Пусть AB и CD — две параллельные хорды (AB∥CD). 2. Проведем диагонали AD и BC, которые пересекаются внутри окружности. Получился четырехугольник ABCD. 3. Так как AB∥CD, то накрест лежащие углы при секущей AD равны: ∠BAD=∠ADC? Нет, это неверно для произвольного четырехугольника. Давайте используем другой подход через симметрию или вписанные углы. 4. Более простой путь: проведем радиусы к концам хорд или используем свойство вписанных углов, опирающихся на эти дуги. 5. Рассмотрим вписанный угол ∠BAC, который опирается на дугу BC. И рассмотрим вписанный угол ∠ABD, который опирается на дугу AD. Это не совсем то. 6. Вернемся к классическому доказательству через равнобедренную трапецию. - Проведем хорду AD и хорду BC. Четырехугольник ABCD является трапецией, так как AB∥CD. - Впишем эту трапецию в окружность. Любая трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Докажем это: - Углы при основании одной из параллельных сторон равны, если сумма противоположных углов равна 180^° (свойство вписанного четырехугольника) и они являются односторонними при параллельных прямых. - Пусть ∠A+∠C=180^° (противолежащие углы вписанного четырехугольника). - Также ∠A+∠D=180^° (односторонние углы при параллельных прямых AB∥CD и секущей AD). - Из этих двух равенств следует, что ∠C=∠D. - Аналогично доказывается, что ∠A=∠B. - Поскольку углы при основании CD равны (∠C=∠D), то трапеция ABCD равнобедренная. - В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AD=BC. - Равным хордам соответствуют равные дуги. Следовательно, дуга AD равна дуге BC. - Но нам нужно доказать равенство дуг, заключенных между параллельными хордами. Обычно под этим понимают дуги AC и BD (если смотреть на «боковины») или дуги, отсекаемые хордами. Формулировка «дуги, заключенные между параллельными хордами» обычно означает дуги AC и BD (где A,B на одной хорде, C,D на другой, и порядок вершин A,C,D,B или A,B,D,C). - Давайте уточним расстановку точек. Пусть хорда AB выше хорды CD. Точки идут по кругу: A,B,D,C. Тогда дуги между хордами — это дуга AC и дуга BD. - Мы доказали, что AD=BC (диагонали? нет, боковые стороны трапеции ABDC?). - Перерисуем мысленно: Хорда AB параллельна хорде CD. Соединим A с D и B с C. Получилась трапеция ABCD с основаниями AB и CD. - Как показано выше, такая трапеция равнобедренная, значит боковые стороны AD и BC равны. - Равным хордам AD и BC соответствуют равные малые дуги ∪AD и ∪BC. - Однако задача часто подразумевает дуги, находящиеся между концами хорд, т.е. дугу AC и дугу BD (если точки расположены как A,C,D,B на окружности? Нет, обычно A,B одна хорда, C,D другая. Порядок на окружности A,B,D,C или A,C,D,B). - Если порядок A,B,D,C, то дуги между параллельными хордами — это дуга BD и дуга AC? Нет, хорда AB и хорда CD. Дуги, заключенные между ними, это дуга AC и дуга BD (если смотреть на боковые части). - Докажем равенство дуг AC и BD. - Проведем хорду BC. Угол ∠ABC опирается на дугу AC. Угол ∠BCD опирается на дугу BD. - Так как AB∥CD, то накрест лежащие углы при секущей BC равны: ∠ABC=∠BCD. - Вписанные углы ∠ABC и ∠BCD равны. - Равные вписанные углы опираются на равные дуги. - Следовательно, дуга AC равна дуге BD.

Проверка и вывод.

Мы использовали только факт параллельности хорд и свойства вписанных углов. Накрест лежащие углы равны, следовательно, опирающиеся на них дуги равны. Доказательство корректно и не требует дополнительных построений вроде осей симметрии, хотя их можно использовать как альтернативный метод.