ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 773: Общие касательные двух окружностей

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательной и секущей к окружности. Нам дано: точка A вне окружности, AB — касательная (B — точка касания), AD — секущая, проходящая через центр O. Дуга BD равна 110^°20′. Нужно найти углы ∠BAD и ∠ADB.

План решения:

1. Определим величину угла ∠BOD, опираясь на то, что он является центральным углом, опирающимся на дугу BD.
2. Рассмотрим треугольник △ABO. Так как AB — касательная, а OB — радиус, то угол между ними прямой. Это позволит нам найти угол ∠OAB (он же ∠BAD).
3. Рассмотрим треугольник △ABD или используем свойства вписанных углов для нахождения ∠ADB.

Вычисление:

1. Центральный угол ∠BOD равен градусной мере соответствующей дуги BD. Следовательно, ∠BOD=110^°20′.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABO. Угол ∠ABO=90^°, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^°. Значит, ∠BAO=90^°-∠AOB.

Заметим, что точки D,O,A лежат на одной прямой (секущая проходит через центр). Поэтому угол ∠AOB и угол ∠BOD являются смежными? Нет, посмотрим на расположение точек. По условию O лежит между A и D. Это значит, что луч OA и луч OD противоположны. Тогда угол ∠AOB и угол ∠BOD действительно смежные, если рассматривать их относительно прямой AD. Однако, обычно в таких задачах секущая AD пересекает окружность в двух точках. Одна из них ближе к A (назовем её C, но в условии её нет, есть только D на окружности и O между A и D). Если O между A и D, то D — дальняя точка пересечения секущей с окружностью. Ближняя точка пересечения не названа, но она лежит на отрезке AO.

Давайте уточним геометрию. Секущая AD проходит через центр O. Точка D на окружности. O между A и D. Значит, порядок точек на прямой: A-O-D. Радиус OD направлен от центра к D. Радиус OB направлен к точке касания B. Угол ∠BOD — это угол между радиусами OB и OD. Он равен дуге BD, то есть 110^°20′.

Теперь найдем угол ∠AOB. Поскольку A,O,D лежат на одной прямой, а O находится между A и D, то луч OA противоположен лучу OD. Следовательно, углы ∠AOB и ∠BOD являются смежными. Их сумма равна 180^°.

В прямоугольном треугольнике △ABO (∠B=90^°):

3. Теперь найдем угол ∠ADB. Рассмотрим треугольник △ABD. Мы знаем угол ∠BAD=20^°20′. Найдем угол ∠ABD. Угол ∠ABD состоит из угла ∠ABO (90^°) и угла ∠OBD. Треугольник △OBD — равнобедренный (OB=OD=R). Угол при вершине ∠BOD=110^°20′. Тогда углы при основании:

Угол ∠ABD=∠ABO+∠OBD=90^°+34^°50′=124^°50′.

Сумма углов треугольника △ABD равна 180^°:

Вычислим:

Альтернативный способ проверки для ∠ADB: Угол ∠ADB является вписанным углом, опирающимся на дугу BC (где C — ближняя точка пересечения секущей с окружностью)? Нет, проще заметить, что ∠ADB совпадает с углом ∠ODB в треугольнике △OBD, так как A,O,D коллинеарны. Мы уже нашли ∠ODB=34^°50′. Это подтверждает результат.

Ответ: ∠BAD=20^°20′, ∠ADB=34^°50′.