ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 769: Общие касательные двух окружностей

План решения:

Для нахождения угла BAC необходимо рассмотреть два возможных взаимных расположения хорд AB и AC относительно центра окружности. Угол между хордами зависит от того, пересекаются ли соответствующие им дуги или нет. В первом случае (хорды по разные стороны от диаметра, проходящего через точку A, или когда дуги не перекрываются в смысле угловых мер от одной точки) угол равен половине суммы дуг, стягиваемых хордами, если вершина на окружности? Нет, здесь вершина A лежит на окружности. Значит, угол BAC — это вписанный угол.

Вписанный угол равен половине дуги, которую он опирает. Однако нам даны дуги, которые стягивают сами хорды AB и AC. Это значит, что длина дуги AB равна 115^°, а длина дуги AC равна 43^°. Нам нужно найти величину дуги BC, на которую опирается вписанный угол BAC. Здесь возможны два случая расположения точек B и C относительно точки A.

Вычисление:

Случай 1: Точки B и C лежат по разные стороны от точки A так, что дуга BC, не содержащая A, является суммой дуг AB и AC.
Если мы представим себе окружность и точку A, то хорда AB отсекает дугу 115^°, а хорда AC — дугу 43^°. Если точки B и C расположены так, что дуга BC, на которую опирается угол BAC, состоит из двух частей (дуги AB и дуги AC), то есть если порядок точек на окружности B-A-C, то дуга BC (не содержащая A) будет равна сумме этих дуг? Нет, давайте внимательно посмотрим на определение.
Угол BAC опирается на дугу BC, которая не содержит вершину угла A.
Дуга, стягиваемая хордой AB, имеет градусную меру 115^°. Это может быть как меньшая, так и большая дуга, но обычно под «дугой, которую стягивает хорда» понимают меньшую дугу, если не сказано иное. Пусть arc(AB)=115^° и arc(AC)=43^°.

Рассмотрим расположение точек на окружности.
1) Если точки B и C находятся по разные стороны от точки A (порядок B,A,C на окружности), то дуга BC, не содержащая A, равна 360^°-(arc(AB)+arc(AC))? Нет. Если порядок B-A-C, то дуга BC, содержащая A, равна 115+43=158^°. Тогда дуга BC, не содержащая A, равна 360^°-158^°=202^°. Вписанный угол BAC опирается на эту большую дугу? Нет, вписанный угол опирается на дугу, которая находится внутри угла. Если угол BAC острый или тупой, он смотрит на дугу BC.
Давайте проще. Вписанный угол равен половине дуги, которую он высекает.
Дуга AB=115^°. Дуга AC=43^°.

Вариант А: Хорды AB и AC лежат по разные стороны от центра (или точка A находится между проекциями). Порядок точек на окружности: B,C,A или C,B,A? Нет.
Представим круг. Точка A фиксирована. От неё отложены дуги 115^° и 43^°.
Если эти дуги идут в разные стороны от точки A (то есть одна дуга AB идет по часовой стрелке, другая AC против часовой), то дуга BC, не содержащая A, равна 360^°-(115^°+43^°)=360^°-158^°=202^°.
Тогда угол BAC=1/2·202^°=101^°.

Вариант Б: Эти дуги идут в одну сторону от точки A (то есть точка C лежит на дуге AB или наоборот, порядок A,C,B).
Тогда дуга BC (часть дуги AB) равна разности дуг: 115^°-43^°=72^°.
Эта дуга BC не содержит точку A (так как A — начало отсчета, а B и C дальше по кругу).
Тогда угол BAC=1/2·72^°=36^°.

Проверка и вывод:

Задача допускает два ответа в зависимости от взаимного расположения хорд, которое не уточнено условием («найдите угол» часто подразумевает все возможные случаи, если чертёж не дан).

• Если хорды AB и AC расположены так, что дуги AB и AC не перекрываются (лежат по разные стороны от радиуса, проведенного к точке A), то угол равен 101^°.
• Если хорды AB и AC расположены так, что одна дуга лежит внутри другой (лежат по одну сторону от радиуса), то угол равен 36^°.

Обычно в таких задачах без чертежа рассматриваются оба случая.