ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 764: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Хорды AB и CD окружности с центром O равны. а) Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами C и D. б) Найдите дуги с концами C и D, если ∠AOB=112°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Для пункта а) вспомним признак равенства хорд и соответствующих им дуг: в одной окружности равным хордам соответствуют равные центральные углы, а значит, и равные дуги.
- Для пункта б) используем тот факт, что градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Так как хорды равны, то и дуги равны, следовательно, можно найти меру дуг с концами C и D через угол AOB.
Вычисление и доказательство:
а) Рассмотрим треугольники △AOB и △COD. Стороны OA, OB, OC и OD являются радиусами одной и той же окружности, поэтому OA=OB=OC=OD. По условию задачи хорды AB и CD равны, то есть AB=CD. Таким образом, три стороны треугольника AOB соответственно равны трём сторонам треугольника COD (OA=OC, OB=OD, AB=CD). Следовательно, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается. Поскольку центральные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, равны. Значит, две дуги с концами A и B (меньшая и большая) равны двум дугам с концами C и D.
б) Нам дано, что ∠AOB=112°. Из доказательства в пункте а) мы знаем, что ∠COD=∠AOB. Следовательно, ∠COD=112°.
Дуга CD (меньшая), на которую опирается центральный угол COD, имеет градусную меру, равную этому углу: m(дуга CDмал)=112°. Большая дуга CD составляет полный круг минус меньшая дуга: m(дуга CDбол)=360°-112°=248°.
Так как хорда AB равна хорде CD, то дуги с концами A и B равны дугам с концами C и D. Меньшая дуга AB равна 112°, большая дуга AB равна 248°. Соответственно, искомые дуги с концами C и D имеют те же меры.
Проверка:
Сумма градусных мер двух дуг с концами C и D должна быть равна 360°: 112°+248°=360°. Это верно. Равенство хорд гарантирует равенство соответствующих центральных углов и дуг, логика не нарушена.
а) Доказано через равенство треугольников △AOB=△COD по трём сторонам, откуда следует равенство центральных углов и дуг.
б) Меньшая дуга CD=112°, большая дуга CD=248°.
В условии сказано 'две дуги', что подразумевает наличие меньшей и большей дуг, стягиваемых хордой. В пункте б) нужно найти именно эти две дуги для концов C и D.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 764 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 764?
Краткий ответ: а) Доказано через равенство треугольников AOB = COD по трём сторонам, откуда следует равенство центральных углов и дуг. б) Меньшая дуга CD = 112^ , большая дуга CD = 248^.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.