ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 758: Общие касательные двух окружностей
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Нам нужно доказать утверждение: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются внешним образом. Для этого воспользуемся определением касания и свойствами точек на отрезке. Пусть O1 и O2 — центры окружностей с радиусами R и r соответственно (R≥r). Обозначим расстояние между центрами через d=O1O2. По условию задачи нам дано равенство d=R+r. Нам необходимо показать, что существует единственная общая точка этих окружностей, которая лежит на линии центров.
Ход вычислений и рассуждений.
Рассмотрим луч, исходящий из центра O1 и проходящий через центр O2. На этом луче отложим отрезок O1A, равный радиусу первой окружности, то есть O1A=R. Так как точка A находится на расстоянии R от центра O1, она принадлежит первой окружности. Теперь определим положение точки A относительно второй окружности с центром O2. Поскольку точка A лежит на отрезке O1O2 (так как R<R+r=d), то расстояние от A до O2 можно найти как разность длин отрезков: O2A=O1O2-O1A Подставим известные значения O1O2=d=R+r и O1A=R: O2A=(R+r)-R=r Так как расстояние от точки A до центра O2 равно радиусу второй окружности r, то точка A также принадлежит второй окружности. Следовательно, точка A является общей точкой обеих окружностей. Докажем её единственность. Предположим, что существует другая общая точка B. Тогда по неравенству треугольника для △O1BO2 имеем: O1B+BO2>O1O2 Так как B лежит на обеих окружностях, то O1B=R и BO2=r. Получаем: R+r>d Но по условию d=R+r, что приводит к противоречию R+r>R+r. Значит, предположение неверно, и других общих точек нет. Точка A лежит на отрезке O1O2, соединяющем центры, что соответствует определению внешнего касания.
Проверка и вывод.
Мы показали, что при условии d=R+r существует ровно одна общая точка окружностей, лежащая на линии центров между ними. Это полностью удовлетворяет геометрическому определению внешнего касания окружностей. Таким образом, утверждение доказано.
Доказано: при d=R+r окружности имеют единственную общую точку на линии центров, значит, они касаются внешним образом.
В решении использован стандартный метод доказательства через построение точки на линии центров и проверку её принадлежности обеим окружностям, а также доказательство единственности через неравенство треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 758 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 758?
Краткий ответ: Доказано: при d=R+r окружности имеют единственную общую точку на линии центров, значит, они касаются внешним образом.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.