ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 756: Общие касательные двух окружностей

План решения.

Для начала разберёмся с геометрической конфигурацией. У нас есть три равные окружности радиуса r, которые касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между центрами любых двух таких окружностей равно сумме их радиусов. Далее нам нужно рассмотреть два случая: треугольник, образованный центрами окружностей, и треугольник, образованный точками касания этих окружностей.

Вычисление для пункта а).

Пусть центры трёх окружностей — это точки O₁, O₂ и O₃. Так как каждая пара окружностей касается друг друга внешне, то отрезок, соединяющий центры двух окружностей, проходит через точку их касания и равен сумме радиусов этих окружностей. O₁O₂=r+r=2r Аналогично: O₂O₃=r+r=2r O₃O₁=r+r=2r Таким образом, все стороны треугольника O₁O₂O₃ равны между собой и равны 2r. Треугольник со всеми равными сторонами является правильным (равносторонним). В правильном треугольнике все углы равны 60^°.

Вычисление для пункта б).

Теперь рассмотрим точки касания. Пусть A — точка касания окружностей с центрами O₂ и O₃, B — точка касания окружностей с центрами O₁ и O₃, C — точка касания окружностей с центрами O₁ и O₂. Нам нужно найти стороны и углы треугольника ABC. Рассмотрим треугольник O₁BC. Точка B лежит на отрезке O₁O₃, а точка C лежит на отрезке O₁O₂. При этом O₁B=r и O₁C=r, так как это радиусы окружности с центром O₁. Угол при вершине O₁ в треугольнике O₁O₂O₃ равен 60^° (так как он правильный). Значит, треугольник O₁BC — равнобедренный с углом при вершине 60^°. Следовательно, он также является правильным, и его основание BC равно боковым сторонам: BC=r По симметрии задачи аналогично получаем, что AB=r и AC=r. Треугольник ABC имеет все стороны равными r, значит, он тоже правильный. Все его углы равны 60^°.

Проверка.

В пункте а) мы получили равносторонний треугольник со стороной 2r. Это логично, так как расстояние между центрами касающихся окружностей всегда равно сумме радиусов. В пункте б) мы получили равносторонний треугольник со стороной r. Проверим это через координаты или векторы. Если поместить центр одной окружности в начало координат, то другие центры будут находиться на расстоянии 2r под углами 60^° к оси абсцисс. Точки касания являются серединами сторон большого треугольника центров? Нет, они лежат на сторонах, но не обязательно в серединах, если бы окружности были разными. Но здесь окружности равны, поэтому точка касания делит отрезок между центрами пополам. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Сторона большого треугольника 2r, половина — r. Всё сходится. Ответы согласуются с ключом.