ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 759: Общие касательные двух окружностей

План доказательства:

Для доказательства утверждения о том, что окружности не имеют общих точек и одна лежит вне другой при условии d>R+r, воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует хотя бы одна общая точка M. Затем применим неравенство треугольника к треугольнику, образованному центрами окружностей O₁ и O₂ и точкой M. Это позволит получить противоречие с исходным условием задачи.

Ход решения:

Пусть даны две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r соответственно (R≥r). Расстояние между центрами обозначим через d=O₁O₂. По условию задачи известно, что d>R+r.

Допустим, что окружности имеют общую точку M. Тогда по определению окружности расстояния от точки M до центров равны радиусам: O₁M=R и O₂M=r.

Рассмотрим треугольник △O₁MO₂. Согласно неравенству треугольника, длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон. Следовательно, для стороны O₁O₂ должно выполняться неравенство: O₁O₂<O₁M+O₂M Подставив известные значения, получаем: d<R+r Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что d>R+r. Значит, наше предположение о существовании общей точки M неверно. Следовательно, окружности не имеют общих точек.

Теперь докажем, что одна окружность лежит вне другой. Возьмём произвольную точку A на меньшей окружности (радиуса r). Рассмотрим треугольник △O₁AO₂. По неравенству треугольника: O₁A<O₁O₂+O₂A Так как O₂A=r и O₁O₂=d, то: O₁A<d+r Это неравенство не даёт нам прямой информации о положении относительно большей окружности. Лучше рассмотреть разность расстояний. Для любой точки X плоскости верно неравенство: |O₁X-O₂X|≤O₁O₂=d Если точка X принадлежит внутренней области или самой большей окружности, то O₁X≤R. Тогда максимальное значение O₂X может быть равно O₁X+d≤R+d. Но нам нужно показать, что точки меньшей окружности находятся снаружи большей.

Возьмём любую точку B на меньшей окружности. Тогда O₂B=r. Нам нужно сравнить расстояние O₁B с радиусом большей окружности R. Из неравенства треугольника для △O₁BO₂ следует: O₁B≥|O₁O₂-O₂B|=|d-r| Так как по условию d>R+r, то d-r>R. Следовательно: O₁B>R Это означает, что расстояние от центра большей окружности O₁ до любой точки B меньшей окружности строго больше радиуса R. Значит, все точки меньшей окружности лежат вне большей окружности. Аналогично можно показать, что точки большей окружности лежат вне меньшей (так как d>R+rimpliesd-R>r, значит для точки C на большей окружности O₂C≥d-R>r).

Проверка:

Логика построена корректно: мы использовали фундаментальное свойство геометрии — неравенство треугольника. Противоречие возникло именно из-за условия d>R+r, которое исключает возможность замыкания «треугольника» с вершинами в центрах и общей точке. Вывод о взаимном расположении также подтверждается алгебраически через оценку минимального расстояния от центра одной окружности до точек другой.