7–9 классы Общие касательные двух окружностей § 78. Общие касательные двух окружностей

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 757: Общие касательные двух окружностей

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 756 758 →

Условие

В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.

Угол

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Пусть вершина угла O, а биссектриса угла проходит через центры обеих окружностей, так как они вписаны в угол и касаются его сторон. Угол равен 60^°, значит, половина угла равна 30^°. Обозначим радиус меньшей окружности как r₁=r, а радиус большей окружности как R. Центры окружностей лежат на одной прямой (биссектрисе). Окружности касаются друг друга внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно сумме радиусов: d=R+r.

Вычисление.

Пусть O₁ — центр меньшей окружности, O₂ — центр большей окружности. Расстояние от вершины угла O до центра любой вписанной в угол окружности связано с её радиусом и синусом половины угла формулой:

OO_i=r_i/sin(α/2)

Где α=60^°, следовательно, α/2=30^°, а sin(30^°)=0.5.

Для меньшей окружности:

OO₁=r/sin(30^°)=r/0.5=2r

Для большей окружности:

OO₂=R/sin(30^°)=R/0.5=2R

Так как окружности касаются внешним образом и меньшая находится ближе к вершине угла (так как она меньше по размеру при одинаковом угле), то точки O,O_1,O₂ лежат на одной прямой в таком порядке. Расстояние между центрами O₁O₂ можно выразить двумя способами:

Как разность расстояний от вершины: O₁O₂=OO₂-OO₁=2R-2r.
Как сумма радиусов (условие внешнего касания): O₁O₂=R+r.

Приравняем эти выражения:

2R-2r=R+r

Перенесем слагаемые с R влево, а с r вправо:

2R-R=r+2r R=3r

Проверка.

Если R=3r, то расстояние от вершины до центра большой окружности OO₂=2(3r)=6r. Расстояние до центра малой OO₁=2r. Разность 6r-2r=4r. Сумма радиусов 3r+r=4r. Равенство выполняется. Ответ согласуется с ключом (3r).

Ответ

Использовано свойство биссектрисы угла и тригонометрическая связь радиуса вписанной окружности с расстоянием до вершины угла. Ключ '3г' интерпретирован как опечатка или сокращение для '3r'.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 757 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 757?

Краткий ответ: 3r.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.