7–9 классы Общие касательные двух окружностей § 78. Общие касательные двух окружностей

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 760: Общие касательные двух окружностей

Q: Это точный номер 760 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Q: Какой ответ в задании 760?

Краткий ответ: Доказательство завершено: при условии d < R - r любая точка меньшей окружности находится на расстоянии от центра большей окружности, меньшем R, следовательно, меньшая окружность лежит внутри большей.

Q: Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Q: Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.

Q: Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 759 763 →

Условие

Доказать утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой.

Окружность

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства. Для доказательства утверждения о взаимном расположении окружностей нам нужно показать, что если расстояние между центрами d меньше разности радиусов |R - r| (где R>r), то каждая точка меньшей окружности находится на расстоянии от центра большей окружности, меньшем её радиуса R. Это означает, что меньшая окружность целиком лежит внутри большей. Ход вычисления и рассуждений. Пусть даны две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r соответственно. Без ограничения общности предположим, что R>r. По условию задачи расстояние между центрами d=O₁O₂ удовлетворяет неравенству:d Рассмотрим произвольную точку $A$, лежащую на меньшей окружности (с центром $O₂$). Нам нужно определить расстояние от этой точки до центра большей окружности $O₁$, то есть длину отрезка $O₁A$.Воспользуемся неравенством треугольника для точек $O₁$,$O₂$ и $A$. Согласно этому неравенству, длина одной стороны треугольника не превышает суммы двух других сторон. Применим это к сторонам $O₁A$,$O₁O₂$ и $O₂A$:O_1A \le O_1O_2 + O_2AМы знаем следующие величины:$O₁O₂=d$— расстояние между центрами;$O₂A=r$— радиус меньшей окружности, так как точка $A$ лежит на ней.Подставим эти значения в неравенство:O_1A \le d + rИз условия задачи мы имеем неравенство $dd + r < (R - r) + r$$ $$d + r < RТеперь объединим полученные результаты. Мы установили, что $O₁A≤d+r$ и что $d+r<R$. Следовательно, по транзитивности неравенств:O_1A < R$Это неравенство означает, что расстояние от центра большей окружностиO_1до любой точки A меньшей окружности строго меньше радиуса R большей окружности.Проверка и вывод.По определению круга, множество всех точек плоскости, удаленных от центраO_1на расстояние, меньшее радиуса R , составляет внутренность большей окружности. Поскольку мы доказали, что для любой точкиA меньшей окружности выполняется условие O_1A < R $, то все точки меньшей окружности лежат внутри большей окружности.

Таким образом, утверждение доказано: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности этих радиусов, то одна окружность (меньшая) лежит внутри другой (большей).

Ответ

Доказательство завершено: при условии d<R-r любая точка меньшей окружности находится на расстоянии от центра большей окружности, меньшем R, следовательно, меньшая окружность лежит внутри большей.

Использовано стандартное неравенство треугольника O₁A≤O₁O₂+O₂A. Ключевой момент — переход от d<R-r к d+r<R. Доказательство верно для любого положения центров, включая совпадение (d=0).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 760 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 760?

Краткий ответ: Доказательство завершено: при условии d < R - r любая точка меньшей окружности находится на расстоянии от центра большей окружности, меньшем R, следовательно, меньшая окружность лежит внутри большей.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 78. Общие касательные двух окружностей.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.