ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 794: Общие касательные двух окружностей

План доказательства.

Чтобы доказать утверждение, воспользуемся определением вписанной окружности и свойством точек, равноудалённых от сторон угла. Центр вписанной окружности по определению равноудалён от всех четырёх сторон четырёхугольника. Нам нужно показать, что точка, равноудалённая от двух смежных сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.

Ход рассуждения.

Пусть O — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD. Проведём из точки O перпендикуляры к сторонам четырёхугольника: OK⊥AB, OL⊥BC, OM⊥CD, ON⊥DA. Так как окружность вписана, то эти перпендикуляры являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, их длины равны:

Рассмотрим угол B (вершина B). Точка O удалена от сторон угла ABC на одинаковое расстояние (OK=OL). По теореме о признаке биссектрисы угла, любая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от его сторон, находится на биссектрисе этого угла. Значит, луч BO является биссектрисой угла B.

Аналогично для угла A: так как OK=ON, то точка O равноудалена от сторон угла DAB, значит, AO — биссектриса угла A. Для угла C: так как OL=OM, то CO — биссектриса угла BCD. Для угла D: так как OM=ON, то DO — биссектриса угла CDA.

Вывод.

Мы показали, что отрезки, соединяющие вершины четырёхугольника с центром вписанной окружности, являются биссектрисами соответствующих углов. Следовательно, точка O лежит одновременно на всех четырёх биссектрисах углов данного четырёхугольника. Это означает, что центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов четырёхугольника. Что и требовалось доказать.