ГДЗ по информатике, 10 класс, Поляков, номер 4.18: Компьютерная арифметика

Структура 32-битного числа выглядит так:

Задача а): Выделение мантиссы.

Чтобы выделить только поле мантиссы, необходимо обнулить старшие 9 битов (знаковый бит и 8 битов порядка). Для этого используется логическая операция И (AND) с маской, в которой младшие 23 бита равны 1, а старшие 9 битов равны 0.

Маска в двоичном виде:

Переведём эту маску в шестнадцатеричную систему счисления для удобства записи в коде:

• Старший байт: 0000 0000→0x00
• Средний байт: 0111 1111→0x7F (так как первый ноль относится к знаку, а следующие 7 единиц — к началу мантиссы? Нет, давайте разобьем строго на 4-битные группы от младшего разряда).

Давайте пересчитаем маску аккуратно, группируя по 4 бита справа налево:

Биты 0--22 равны 1. Биты 23--31 равны 0.

Группировка по 4 бита (от младших к старшим):

1. Биты 0--3: 1111₂=F₁₆
2. Биты 4--7: 1111₂=F₁₆
3. Биты 8--11: 1111₂=F₁₆
4. Биты 12--15: 1111₂=F₁₆
5. Биты 16--19: 1111₂=F₁₆
6. Биты 20--23: Здесь нужно быть внимательным. Мантисса занимает биты 0--22. Значит, бит 22 равен 1, а бит 23 (начало экспоненты) равен 0. Группа битов 20--23: 0111₂=7₁₆.
7. Биты 24--27: 0000₂=0₁₆
8. Биты 28--31: 0000₂=0₁₆

Таким образом, маска в шестнадцатеричном виде: 0x007FFFFF.

Логическая операция: x & 0x007FFFFF.

Задача б): Восстановление «скрытой единицы».

В нормализованных числах формата IEEE 754 перед двоичной точкой всегда подразумевается единица, которая не хранится явно в памяти (экономия бита). Полное значение мантиссы равно 1.M, где M — это хранимые 23 бита дробной части.

Чтобы получить полное числовое значение мантиссы (включая целую часть 1), нужно добавить эту единицу к хранимой дроби. Поскольку хранимая мантисса находится в младших 23 битах, а «скрытая единица» соответствует весу 2²³ относительно начала поля мантиссы (или просто является старшим разрядом при интерпретации мантиссы как целого числа со сдвигом), то в контексте побитовых операций над 32-битным словом:

Если мы хотим модифицировать само представление или вычислить полную мантиссу как целое число, нам нужно установить бит, соответствующий позиции 23 (если считать от 0 до 22 для дробной части, то единица стоит на месте 23-го разряда веса 2⁰ в нормализованном числе, но в битовой сетке слова она находится сразу после поля мантиссы).

Однако, чаще всего под «восстановлением» понимают получение значения 1+M. В терминах логических операций над битовым полем мантиссы, если мы работаем с изолированным полем мантиссы (как в пункте а), то добавление единицы — это арифметическая операция сложения. Но если речь идет о манипуляции с исходным 32-битным словом, чтобы сделать явной ту единицу, которая «пропущена» в формате хранения, то обычно это делается через сдвиг или установку конкретного бита.

Давайте посмотрим на формулировку «в знаковой части». Это может быть опечатка в условии учебника, имеющая в виду «в значении мантиссы» или «в представлении числа». Скорее всего, имеется в виду формирование полного значения мантиссы.

Если рассматривать задачу как операцию над битовым полем, выделенным в пункте а), то «скрытая единица» имеет вес 2²³ (если мантисса трактуется как целое число M, то реальная дробь M/2^}23, а полная мантисса (2²³+M)/2^}23). Чтобы добавить эту единицу к выделенному полю мантиссы, можно использовать операцию ИЛИ (OR) с маской, содержащей единицу на позиции, соответствующей весу 2²³.

Но в рамках 32-битного слова позиция 23 занята младшим битом экспоненты. Поэтому прямое применение маски OR к исходному слову некорректно без предварительного выделения мантиссы.

Вероятный смысл задания: определить операцию, которая превращает хранимую дробь M в число 1.M. Если мы уже выделили мантиссу M (биты 0--22), то чтобы получить 1.M в виде целого числа (где 1 — это старший бит), нужно выполнить операцию ИЛИ с константой 2²³ (в десятичном виде 8388608, в шестнадцатеричном 0x00800000).

Маска для установки скрытой единицы (при работе с выделенной мантиссой):

Двоично это: 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000.

Логическая операция: m | 0x00800000, где m — результат пункта а).

Если же вопрос касается непосредственно исходного слова, то «восстановление» подразумевает понимание того, что реальное значение мантиссы получается прибавлением 1 к дробной части. В контексте компьютерной арифметики и масок, наиболее частый ответ для таких задач — использование операции ИЛИ с маской, устанавливающей нужный бит.

Проверим пункт а). Маска 0x007FFFFF оставляет неизменными биты 0--22 и обнуляет биты 23--31. Это корректно выделяет поле мантиссы.

Проверим пункт б). Хранится только дробная часть M. Нормализованное число имеет вид (-1)^S·1.M·2^E-Bias. Чтобы получить значение 1.M в виде целого числа (для последующих арифметических действий или сравнений), нужно поставить единицу на место, которое было бы старшим битом мантиссы, если бы она была полной. При работе с выделенной мантиссой (которая лежит в младших битах), эта единица должна быть установлена в бит 23 относительно начала слова (если мы считаем, что мантисса выровнена по правому краю). Константа 2²³ в шестнадцатеричном виде действительно 0x00800000. Операция ИЛИ установит этот бит в 1, не трогая остальные.

Таким образом:

• а) Операция: И (AND). Маска: 0x007FFFFF.
• б) Операция: ИЛИ (OR). Маска: 0x00800000 (применяется к результату пункта а).