ГДЗ по математике, 3 класс, Петерсон, номер p103.14: Урок 39. Единицы длины

Четырёхзначное число — это натуральное число, которое записывается с помощью четырёх цифр, причём первая цифра (цифра тысяч) не может быть равна нулю. Таким образом, диапазон таких чисел от 1000 до 9999. Нам нужно найти все числа в этом диапазоне, удовлетворяющие условиям пунктов а) и б).

Если все четыре цифры числа одинаковы, то число имеет вид aaaa, где a — некоторая цифра.

• Цифра a не может быть 0, так как тогда число было бы 0000, что не является четырёхзначным числом (это просто ноль).
• Цифра a может принимать значения от 1 до 9.

Выпишем все такие числа:

Итак, множество для пункта а) содержит 9 элементов: {1111;2222;3333;4444;5555;6666;7777;8888;9999}.

Пусть четырёхзначное число имеет вид abcd. Тогда должны выполняться условия: a+b+c+d=3 где a∈{1,2,...,9} (так как a≠0), а b,c,d∈{0,1,...,9}.

Так как сумма всех цифр всего 3, то каждая отдельная цифра не может превышать 3. Переберём возможные значения первой цифры a.

Случай 1: a=1

Тогда b+c+d=3-1=2. Нужно найти все тройки (b,c,d) из неотрицательных целых чисел, дающих в сумме 2. Возможные комбинации цифр {b,c,d} (без учёта порядка пока):

• Комбинация {2,0,0}: перестановки дают числа 1200,1020,1002.
• Комбинация {1,1,0}: перестановки дают числа 1110,1101,1011.

Всего при a=1 получаем 6 чисел.

Случай 2: a=2

Тогда b+c+d=3-2=1. Нужно найти тройки, дающие в сумме 1. Возможные комбинации цифр {b,c,d}:

• Комбинация {1,0,0}: перестановки дают числа 2100,2010,2001.

Всего при a=2 получаем 3 числа.

Случай 3: a=3

Тогда b+c+d=3-3=0. Единственная возможность — все остальные цифры нули:

• Комбинация {0,0,0}: даёт число 3000.

Всего при a=3 получаем 1 число.

Случай 4: a≥4

Если a≥4, то сумма цифр будет не менее 4, что противоречит условию (сумма =3). Таких чисел нет.

Объединим все найденные числа в одно множество:

{1200;1020;1002;1110;1101;1011;2100;2010;2001;3000}.

Всего 10 чисел.

Проверим пункт а): Числа вида aaaa. Сумма цифр 4a. В условии не требуется конкретная сумма, только равенство цифр. Все выписанные числа корректны.

Проверим пункт б): Выберем несколько чисел из полученного множества и проверим сумму цифр.

• 1200: 1+2+0+0=3. Верно.
• 1011: 1+0+1+1=3. Верно.
• 2001: 2+0+0+1=3. Верно.
• 3000: 3+0+0+0=3. Верно.

Убедимся, что мы не пропустили варианты. Для суммы 3 на трёх позициях (b,c,d) при фиксированном a количество решений равно числу разбиений остатка на 3 части. Это стандартная комбинаторная задача, перебор выше исчерпывающий.