ГДЗ по математике, 3 класс, Петерсон, номер p35.11: Решение задач
Математика: 3-й класс: углубленный уровень: учебник: в 3 частях; 1-е издание — Петерсон Л.Г.
Светлана Крылова, методист по математике Шпаргача обновлено 12 сентября 2026
Условие
Как расположить 4 элемента на диаграммах множеств A и B, чтобы в каждом из них было соответственно
а) 2 и 4 элемента
б) по 3 элемента
в) 4 и 3 элемента
г) 0 и 4 элемента
д) по 4 элемента
е) по 2 элемента?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче мы работаем с двумя множествами A и B. Всего у нас есть 4 различных элемента. Нам нужно распределить их так, чтобы количество элементов в каждом множестве соответствовало условиям пунктов а)–е).
Для наглядности представим диаграмму Эйлера: два пересекающихся круга. У нас есть три зоны для размещения элементов:
- Зона только внутри A (обозначим её x);
- Зона только внутри B (обозначим её y);
- Зона пересечения A∩B (общая часть, обозначим её z).
Шаг 1. Пункт а): в A — 2 элемента, в B — 4 элемента
Нам нужно, чтобы |A|=2 и |B|=4. Так как всего элементов 4, то множество B содержит все имеющиеся элементы. Значит, все 4 элемента находятся в круге B. Чтобы в круге A было ровно 2 элемента, эти 2 элемента должны лежать на пересечении или внутри A. Поскольку все элементы уже в B, то любые элементы из A автоматически попадают в пересечение A∩B.
Расположение: 2 элемента в пересечении (z=2), 0 элементов только в A (x=0), 2 элемента только в B (y=2).
Проверка: |A|=2+0=2, |B|=2+2=4. Всего элементов: 2+0+2=4. Условие выполнено.
Шаг 2. Пункт б): по 3 элемента в каждом
Нужно |A|=3 и |B|=3. Сумма количеств 3+3=6. Если бы множества не пересекались, нам бы потребовалось 6 элементов, но у нас только 4. Значит, есть пересечение.
Формула:
| ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Расположение: 2 элемента в пересечении (z=2). В A осталось место для 3-2=1 элемента (x=1). В B осталось место для 3-2=1 элемента (y=1). | ||||||||||||
| Проверка: |A|=1+2=3, |B|=1+2=3. Всего элементов: 1+1+2=4. Условие выполнено. |
Шаг 3. Пункт в): в A — 4 элемента, в B — 3 элемента
Ситуация симметрична пункту а). Множество A содержит все 4 элемента. Значит, все элементы находятся в круге A. Чтобы в круге B было 3 элемента, они должны быть взяты из этих 4 элементов, находящихся в A. Следовательно, эти 3 элемента лежат в пересечении.
Расположение: 3 элемента в пересечении (z=3), 1 элемент только в A (x=1), 0 элементов только в B (y=0).
Проверка: |A|=1+3=4, |B|=0+3=3. Всего элементов: 1+0+3=4. Условие выполнено.
Шаг 4. Пункт г): в A — 0 элементов, в B — 4 элемента
Если в множестве A нет элементов (|A|=0), то круг A пуст. Все 4 элемента должны находиться в множестве B (|B|=4).
Расположение: 0 элементов в пересечении (z=0), 0 элементов только в A (x=0), 4 элемента только в B (y=4).
Проверка: |A|=0+0=0, |B|=4+0=4. Всего элементов: 0+4+0=4. Условие выполнено.
Шаг 5. Пункт д): по 4 элемента в каждом
Нужно |A|=4 и |B|=4. Это значит, что все 4 элемента должны одновременно принадлежать и множеству A, и множеству B. То есть все элементы находятся в общей части кругов.
Расположение: 4 элемента в пересечении (z=4), 0 элементов только в A (x=0), 0 элементов только в B (y=0).
Проверка: |A|=0+4=4, |B|=0+4=4. Всего элементов: 0+0+4=4. Условие выполнено.
Шаг 6. Пункт е): по 2 элемента в каждом
Нужно |A|=2 и |B|=2. Здесь возможно несколько вариантов расположения, так как сумма мощностей 2+2=4 равна общему числу элементов. Это может означать, что множества не пересекаются, либо частично пересекаются.
Вариант 1 (без пересечения): 2 элемента только в A, 2 элемента только в B, 0 в пересечении.
Вариант 2 (с пересечением): Например, 1 элемент в пересечении, тогда в A нужно ещё 1 элемент только для себя, и в B тоже 1 элемент только для себя. Итого: 1 в AsetminusB, 1 в BsetminusA, 1 в A∩B. Но тогда всего элементов 3, а у нас 4. Один элемент можно оставить «вне» обоих множеств или добавить в одну из зон, увеличив мощность одного из множеств (что нарушит условие). Поэтому самый простой вариант использования всех 4 элементов при заданных мощностях — это когда множества не пересекаются, а один элемент лишний? Нет, задача говорит «расположить 4 элемента». Если мы возьмем Вариант 1: x=2,y=2,z=0. Всего 4 элемента. |A|=2,|B|=2. Подходит.
Можно ли сделать иначе? Пусть z=1. Тогда x=1 (чтобы |A|=2), y=1 (чтобы |B|=2). Использовано 1+1+1=3 элемента. Четвёртый элемент нельзя положить ни в A, ни в B, иначе изменится их мощность. Можно ли его положить вне? Да. Но обычно в таких задачах подразумевается использование всех элементов внутри диаграммы или допустимо наличие элементов вне множеств. Однако, если требовать, чтобы все 4 элемента были учтены в структуре диаграммы (внутри кругов), то вариант без пересечения идеален.
Расположение (вариант без пересечения): 2 элемента только в A (x=2), 2 элемента только в B (y=2), 0 элементов в пересечении (z=0).
Проверка: |A|=2+0=2, |B|=2+0=2. Всего элементов в кругах: 2+2+0=4. Условие выполнено.
а) 2 элемента в пересечении, 2 только в B
б) 2 элемента в пересечении, 1 только в A, 1 только в B
в) 3 элемента в пересечении, 1 только в A
г) 4 элемента только в B
д) 4 элемента в пересечении
е) 2 элемента только в A, 2 только в B
Задача решается через анализ мощностей множеств и их пересечения. Для каждого пункта подобрано конкретное распределение элементов по зонам диаграммы Эйлера (только А, только В, пересечение).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер p35.11 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: 3-й класс: углубленный уровень: учебник: в 3 частях; 1-е издание», Петерсон Л.Г.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании p35.11?
Краткий ответ: а) 2 элемента в пересечении, 2 только в B б) 2 элемента в пересечении, 1 только в A, 1 только в B в) 3 элемента в пересечении, 1 только в A г) 4 элемента только в B д) 4 элемента в пересечении е) 2 элемента только в A, 2 только в B.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: 3-й класс: углубленный уровень: учебник: в 3 частях; 1-е издание», Петерсон Л.Г.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Решение задач.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.