ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер p122.6: Динамика

План решения.

Данная задача относится к классическим задачам динамики на движение системы связанных тел. У нас есть два бруска: один висит вертикально (масса m₁=1 кг), другой лежит на наклонной плоскости (масса m₂=3 кг). Поскольку m₂>m₁, и угол наклона небольшой (30 ^exto), сила тяжести, действующая вдоль наклонной плоскости на второй брусок, скорее всего превысит силу тяжести первого бруска. Это означает, что система будет двигаться так, что брусок m₂ будет съезжать вниз по наклонной плоскости, а брусок m₁ — подниматься вверх. Нам необходимо записать второй закон Ньютона для каждого тела в отдельности, учитывая все силы: силу тяжести, нормальную реакцию опоры, силу натяжения нити и силу трения. Так как нить нерастяжимая и блок идеальный, ускорение обоих брусков одинаково по модулю (a), а сила натяжения нити одинакова с обеих сторон (T).

Вычисление.

Выберем оси координат. Для бруска m₁ ось Y направим вертикально вверх (так как он движется вверх). Для бруска m₂ ось X направим вниз по наклонной плоскости (так как он движется вниз). 1. Анализ сил для бруска m₁: На него действуют сила тяжести m₁g (вниз) и сила натяжения нити T (вверх). Запишем уравнение движения: T-m₁g=m₁a Отсюда выразим силу натяжения: T=m₁(g+a) (1) 2. Анализ сил для бруска m₂: Разложим силу тяжести m₂g на две составляющие: - Проекция на ось X (вдоль наклонной плоскости): F_gx=m₂gsinα - Проекция на ось Y (перпендикулярно плоскости): F_gy=m₂gcosα В направлении перпендикулярном плоскости равновесие, поэтому сила нормальной реакции опоры N равна проекции силы тяжести: N=m₂gcosα Сила трения скольжения F_tr направлена против движения (вверх по наклонной плоскости): F_tr=μN=μm₂gcosα Запишем второй закон Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости (ось X): m₂gsinα-T-F_tr=m₂a Подставим выражение для силы трения: m₂gsinα-T-μm₂gcosα=m₂a (2) 3. Решение системы уравнений: Подставим выражение для T из уравнения (1) в уравнение (2): m₂gsinα-[m₁(g+a)]-μm₂gcosα=m₂a Раскроем скобки: m₂gsinα-m₁g-m₁a-μm₂gcosα=m₂a Перенесем все слагаемые с ускорением a в правую часть, а остальные — в левую: m₂gsinα-m₁g-μm₂gcosα=m₂a+m₁a Вынесем общий множитель g слева и a справа: g(m₂sinα-m₁-μm₂cosα)=a(m₁+m₂) Выразим ускорение a: a=gm₂sinα-m₁-μm₂cosα/m₁+m₂ 4. Подстановка численных значений: Примем g≈9.8 м/с ². Дано: m₁=1 кг, m₂=3 кг, α=30^°, μ=0.04. Значения тригонометрических функций: sin30^°=0.5, cos30^°≈0.866. Числитель: m₂sinα=3·0.5=1.5 μm₂cosα=0.04·3·0.866=0.12·0.866≈0.104 m₂sinα-m₁-μm₂cosα=1.5-1-0.104=0.396 Знаменатель: m₁+m₂=1+3=4 Ускорение: a=9.8·0.396/4=9.8·0.099≈0.97 м/с ²

Проверка результата.

Давайте проверим логику ответа. Если бы трения не было (μ=0), то ускорение было бы больше. Без трения числитель был бы 1.5-1=0.5, тогда a=9.8·0.5/4=1.225 м/с ². Наличие трения уменьшает разгоняющую силу, поэтому результат 0.97 меньше 1.225, что верно. Также важно убедиться, что система вообще начинает движение. Сила, стремящаяся сдвинуть груз m₂ вниз, равна m₂gsinα=1.5g. Сила, препятствующая этому (тяжесть m₁ плюс максимальное трение покоя, которое примерно равно трению скольжения при малых скоростях), равна m₁g+μm₂gcosα=1g+0.104g=1.104g. Так как 1.5g>1.104g, движение действительно возможно, и направление выбрано верно. Ответ округлен до двух значащих цифр, что соответствует точности исходных данных.